Parametr w podstawie: kiedy (m − 1)ˣ < (m − 1)³ dla każdego x > 3?

Krok 1. Kiedy $f$ jest funkcją wykładniczą. Podstawa musi być dodatnia i różna od 1:

$m - 1 > 0 \quad \text{i} \quad m - 1 \ne 1 \quad\Longrightarrow\quad m > 1 \quad \text{i} \quad m \ne 2$

(Dla $m = 2$ mielibyśmy $1^x < 1^3$, czyli $1 < 1$ - fałsz dla każdego $x$.)

Krok 2. Co znaczy warunek zadania. Nierówność mówi: $f(x) < f(3)$ dla wszystkich $x > 3$. Wartości na prawo od $3$ mają być mniejsze od wartości w punkcie $3$ - tak zachowuje się funkcja malejąca.

Krok 3. Dwa przypadki podstawy.

• $m - 1 > 1$ (czyli $m > 2$): funkcja rosnąca, więc dla $x > 3$ jest $f(x) > f(3)$ - warunek nie jest spełniony dla żadnego $x > 3$.
• $0 < m - 1 < 1$ (czyli $1 < m < 2$): funkcja malejąca, więc dla każdego $x > 3$ jest $f(x) < f(3)$ - warunek spełniony.

Krok 4. Sprawdzenie na przykładzie. $m = 1{,}5$: podstawa $0{,}5$, np. $0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}5^3 = 0{,}125$ - zgadza się. $m = 3$: podstawa $2$, $2^4 = 16 > 2^3 = 8$ - warunek nie zachodzi.

Odpowiedź. $m \in (1, 2)$.