Po ilu latach kapitał na 4% wzrośnie o połowę? Nierówność z logarytmem

Krok 1. Nierówność. Po $n$ latach kapitał to $K_0 \cdot 1{,}04^n$. Ma być co najmniej $1{,}5 K_0$:

$K_0 \cdot 1{,}04^{n} \geq 1{,}5\,K_0 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}04^{n} \geq 1{,}5$

Kwota $K_0$ się skraca - odpowiedź nie zależy od wpłaconej sumy.

Krok 2. Logarytmujemy obie strony (logarytm o podstawie 10 jest funkcją rosnącą, więc znak nierówności zostaje):

$n \cdot \log 1{,}04 \geq \log 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad n \geq \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}04} \approx \frac{0{,}17609}{0{,}01703} \approx 10{,}34$

Krok 3. Najmniejsze całkowite $n$ to $11$. Sprawdzenie: $1{,}04^{10} \approx 1{,}4802 < 1{,}5$ oraz $1{,}04^{11} \approx 1{,}5395 \geq 1{,}5$.

Odpowiedź. Po 11 latach.

Uwaga: wynik $10{,}34$ nie oznacza „10 lat” - po 10 latach brakuje jeszcze około 2% kapitału. Liczbę lat zaokrąglamy zawsze w górę.