Kąt między przekątną ściany sześcianu a płaszczyzną przekroju przekątnego

Krok 1. Rzut punktu B na płaszczyznę ACC₁A₁. Niech $O$ będzie środkiem podstawy. Odcinek $BO$ leży na przekątnej $BD$, a $BD \perp AC$ (przekątne kwadratu) i $BD \perp AA_1$ (krawędź boczna jest prostopadła do podstawy). Prosta $BO$ jest więc prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny $ACC_1A_1$, czyli do całej płaszczyzny. Rzutem punktu $B$ jest $O$.

Krok 2. Który kąt jest szukany. Punkt $A_1$ leży w płaszczyźnie przekroju, więc rzutem odcinka $A_1B$ jest odcinek $A_1O$. Szukany kąt to $\varphi = \angle BA_1O$ w trójkącie $A_1OB$ z kątem prostym przy $O$.

Krok 3. Długości.

$|BO| = \frac{a\sqrt{2}}{2}, \qquad |A_1B| = a\sqrt{2}.$

Krok 4. Kąt.

$\sin\varphi = \frac{|BO|}{|A_1B|} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = 30^\circ.$

Odpowiedź. Przekątna ściany $A_1B$ tworzy z płaszczyzną $ACC_1A_1$ kąt $30^\circ$ (niezależnie od długości krawędzi).