Zadanie odwrotne: dany stosunek i suma odcinków

Krok 1. Oznaczamy szukane. Niech odcinki na drugiej prostej mają długości $a$ i $b$, przy czym $a$ odpowiada odcinkowi $6$, a $b$ - odcinkowi $10$. Z treści zadania wiemy, że

$a + b = 24.$

Krok 2. Zapisujemy twierdzenie Talesa.

$\frac{6}{10} = \frac{a}{b} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b} = \frac{3}{5}.$

Krok 3. Wprowadzamy wspólny parametr. Skoro $a : b = 3 : 5$, to możemy zapisać

$a = 3t, \qquad b = 5t$

dla pewnej liczby dodatniej $t$. To standardowy chwyt przy zadaniach ze stosunkiem - zamienia dwie niewiadome na jedną.

Krok 4. Korzystamy z sumy.

$3t + 5t = 24 \quad\Longleftrightarrow\quad 8t = 24 \quad\Longleftrightarrow\quad t = 3.$

Krok 5. Obliczamy odcinki.

$a = 3 \cdot 3 = 9, \qquad b = 5 \cdot 3 = 15.$

Krok 6. Sprawdzenie. Suma: $9 + 15 = 24$. Stosunek: $\tfrac{9}{15} = \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{10}$. Oba warunki spełnione.

Uwaga. Można było też rozwiązać to jednym rachunkiem. Skoro odcinki dzielą się w stosunku $3 : 5$, to pierwszy z nich stanowi $\tfrac{3}{8}$ całości, a drugi $\tfrac{5}{8}$:

$a = \frac{3}{8} \cdot 24 = 9, \qquad b = \frac{5}{8} \cdot 24 = 15.$

Odpowiedź. Odcinki mają długości $9$ i $15$.