Wysokość ostrosłupa i kąt nachylenia ściany bocznej dane - pole powierzchni bocznej

Krok 1. Kąt liniowy. Kąt nachylenia ściany bocznej to $\angle OES = 30^\circ$, gdzie $E$ - środek krawędzi podstawy, $O$ - środek kwadratu. Trójkąt $OES$ jest prostokątny przy $O$.

Krok 2. Wysokość ściany bocznej. Naprzeciw kąta $30^\circ$ leży $SO$:

$\sin 30^\circ = \frac{|SO|}{|SE|} \quad\Longrightarrow\quad |SE| = \frac{6}{1/2} = 12.$

Krok 3. Krawędź podstawy.

$|OE| = |SO| \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}30^\circ} = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}, \qquad a = 2|OE| = 12\sqrt{3}.$

Krok 4. Pole powierzchni bocznej - cztery trójkąty o podstawie $a$ i wysokości $|SE|$:

$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 12 = 288\sqrt{3}.$

Sprawdzenie: pole podstawy $P_p = (12\sqrt{3})^2 = 432$ to rzut powierzchni bocznej, więc $P_b = \frac{P_p}{\cos 30^\circ} = \frac{432 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 288\sqrt{3}$. Zgadza się.

Odpowiedź. $a = 12\sqrt{3}$, wysokość ściany bocznej $12$, $P_b = 288\sqrt{3}$.