Dziedzina funkcji f(x) = √(log₀,₅(x − 1)) - nierówność logarytmiczna

Krok 1. Dwa warunki. Logarytm musi istnieć, a wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne:

$x - 1 > 0 \qquad \text{oraz} \qquad \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq 0.$

Krok 2. Pierwszy warunek. $x > 1$.

Krok 3. Drugi warunek - nierówność logarytmiczna. $0 = \log_{\frac{1}{2}} 1$, a podstawa $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, więc funkcja jest malejąca i zwrot się odwraca:

$\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq \log_{\frac{1}{2}} 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 \leq 1 \quad\Longrightarrow\quad x \leq 2.$

Krok 4. Część wspólna. $x > 1$ i $x \leq 2$.

Sprawdzenie. $x = 2$: $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$, a $\sqrt{0} = 0$ istnieje. $\checkmark$$x = 3$: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$ - pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje, więc $3$ słusznie jest poza dziedziną.

Odpowiedź. $D = (1, 2]$.