Ile jest sposobów usadzenia 6 osób przy okrągłym stole? Permutacje cykliczne

Krok 1. a) Dlaczego nie $6!$. Gdyby krzesła były ponumerowane, usadzeń byłoby $6! = 720$. Ale każde usadzenie „przy stole” można obrócić na $6$ sposobów (o $0, 1, \ldots, 5$ krzeseł) - i wszystkie te obroty liczymy jako jeden układ. Każdy układ jest więc policzony w $720$ dokładnie $6$ razy:

$$\frac{6!}{6} = 5! = 120.$$

Krok 2. a) To samo inaczej. Obrót przestaje mieć znaczenie, gdy jedną osobę „przyklejamy” do wybranego krzesła - np. Anię. Pozostałe $5$ osób ustawiamy na $5$ krzesłach w ustalonej kolejności od Ani zgodnie z ruchem wskazówek zegara: $5! = 120$. Ogólnie $n$ osób przy okrągłym stole można usadzić na $(n - 1)!$ sposobów.

Krok 3. b) Ania i Bartek obok siebie. Ania siedzi na swoim krześle (jak w kroku 2). Bartek ma usiąść obok niej - po jej lewej albo po prawej stronie: $2$ możliwości. Pozostałe $4$ osoby zajmują $4$ wolne krzesła na $4! = 24$ sposoby:

$$2 \cdot 4! = 2 \cdot 24 = 48.$$

Odpowiedź. a) $120$ sposobów; b) $48$ sposobów.