Nierówność ½x² < 8 - dla jakich argumentów?

Krok 1. Zapisujemy nierówność.

$\tfrac{1}{2}x^2 < 8.$

Krok 2. Mnożymy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności bez zmian):

$x^2 < 16.$

Krok 3. Rozwiązujemy nierówność z kwadratem. Warunek $x^2 < 16$ oznacza, że odległość $x$ od zera jest mniejsza niż $4$:

$|x| < 4 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x < 4.$

Krok 4. Sprawdzenie na wykresie. Parabola $y = \tfrac{1}{2}x^2$ przecina poziom $y = 8$ w punktach $x = -4$ i $x = 4$ (bo $\tfrac{1}{2} \cdot 16 = 8$), a między nimi leży pod tym poziomem - zgadza się z rachunkiem.

Częsty błąd. Zapis $x < 4$ bez drugiej strony. Nierówność $x^2 < 16$ ma zawsze dwa ograniczenia, bo kwadrat jest duży zarówno dla dużych dodatnich, jak i dużych ujemnych $x$.

Odpowiedź. $x \in (-4, 4)$.