Udowodnij, że P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1 - dowód nierówności

Krok 1. Dowód - sposób I (wzór na sumę). Z wzoru na prawdopodobieństwo sumy

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).$

Każde prawdopodobieństwo jest nie większe niż $1$, więc $P(A \cup B) \le 1$, czyli $-P(A \cup B) \ge -1$. Stąd

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \ge P(A) + P(B) - 1.$

Krok 2. Dowód - sposób II (zdarzenia przeciwne). Z prawa de Morgana $(A \cap B)' = A' \cup B'$, a prawdopodobieństwo sumy nie przekracza sumy prawdopodobieństw:

$P\big((A \cap B)'\big) = P(A' \cup B') \le P(A') + P(B') = 2 - P(A) - P(B).$

Zatem $P(A \cap B) = 1 - P\big((A \cap B)'\big) \ge 1 - 2 + P(A) + P(B) = P(A) + P(B) - 1$.

Drugi sposób ma czytelny sens: szansa, że coś nie wyjdzie, jest nie większa niż suma szans niepowodzenia w każdej z części.

Krok 3. Zastosowanie (część b). Niech $M$ - „zdał matematykę”, $J$ - „zdał polski”. Z udowodnionej nierówności

$P(M \cap J) \ge 0{,}9 + 0{,}8 - 1 = 0{,}7.$

Krok 4. Czy granica jest osiągalna? Tak: wśród $10$ uczniów jeden nie zdał matematyki, a dwaj inni nie zdali polskiego. Obu egzaminów nie zdało więc $3$ uczniów z $10$, oba zdało $7$ - dokładnie $0{,}7$.

Uwaga. Nierówność bywa bezużyteczna: dla $P(A) = 0{,}3$ i $P(B) = 0{,}4$ daje $P(A \cap B) \ge -0{,}3$, co jest oczywiste. Siłę ma wtedy, gdy oba zdarzenia są bardzo prawdopodobne.

Odpowiedź. Nierówność wynika z $P(A \cup B) \le 1$; w części b) $P(M \cap J) \ge 0{,}7$.