Płaszczyzna w połowie wysokości ostrosłupa - w jakim stosunku dzieli objętość?

Krok 1. Cały ostrosłup.

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 12 = 144.$

Krok 2. Odcięty ostrosłup. Jest podobny do całego w skali $k = \frac{1}{2}$ (połowa wysokości), więc jego objętość to $k^3 = \frac{1}{8}$ całości:

$V_1 = \frac{144}{8} = 18.$

Sprawdzenie wprost: przekrój to kwadrat o boku $3$, wysokość małego ostrosłupa $6$, $V_1 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 6 = 18$.

Krok 3. Ostrosłup ścięty i stosunek.

$V_2 = 144 - 18 = 126, \qquad V_1 : V_2 = 18 : 126 = 1 : 7.$

Intuicja „przecięcie w połowie wysokości dzieli objętość na pół” jest błędna - górna część to tylko jedna ósma całości.

Odpowiedź. Części mają objętości $18$ i $126$, ich stosunek to $1 : 7$.