Przekątne trapezu - punkt przecięcia

Krok 1. Znajdujemy trójkąty podobne. Przyjrzyjmy się trójkątom $ABP$ i $CDP$:

• $\angle APB = \angle CPD$ - to kąty wierzchołkowe,
• $\angle BAP = \angle DCP$ - to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych $AB$ i $CD$ przeciętych przekątną $AC$.

Z cechy kąt-kąt trójkąty $ABP$ i $CDP$ są podobne. To ta sama konfiguracja „motylkowa”, która pojawia się przy dwóch prostych równoległych przeciętych parą prostych przecinających się.

Krok 2. Zapisujemy skalę podobieństwa. Bokom $AB$ i $CD$ odpowiadają sobie, więc skala wynosi

$k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.$

Krok 3. Przenosimy skalę na przekątne. W podobnych trójkątach wszystkie odpowiadające sobie odcinki są w tej samej skali. Odcinek $AP$ w trójkącie $ABP$ odpowiada odcinkowi $CP$ w trójkącie $CDP$, zatem

$\frac{|AP|}{|PC|} = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{3}{2}.$

Krok 4. Obliczamy $PC$.

$\frac{9}{|PC|} = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad 3 \cdot |PC| = 18 \quad\Longrightarrow\quad |PC| = 6.$

Krok 5. Sprawdzenie. Cała przekątna ma długość $|AC| = 9 + 6 = 15$, a punkt $P$ dzieli ją w stosunku $9 : 6 = 3 : 2$ - dokładnie tak, jak podstawy $12 : 8 = 3 : 2$. Zgadza się.

Wniosek ogólny (warto zapamiętać). Przekątne trapezu dzielą się w punkcie przecięcia w stosunku długości podstaw. Ten sam stosunek dotyczy obu przekątnych, więc gdybyśmy znali $|BP|$, długość $|PD|$ wyliczylibyśmy tak samo.

Odpowiedź. $|PC| = 6$.