Trójkąt 5-12-13 obracany wokół każdej przyprostokątnej - stosunek objętości

Krok 1. Przeciwprostokątna. $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ - to tworząca obu stożków.

Krok 2. Stożek a) - oś przez bok 5. Wysokość $H = 5$, promień $r = 12$:

$$V_a = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 5 = 240\pi, \qquad P_a = \pi \cdot 144 + \pi \cdot 12 \cdot 13 = 144\pi + 156\pi = 300\pi.$$

Krok 3. Stożek b) - oś przez bok 12. Wysokość $H = 12$, promień $r = 5$:

$$V_b = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi, \qquad P_b = \pi \cdot 25 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi.$$

Krok 4. Stosunek objętości.

$$\frac{V_a}{V_b} = \frac{240\pi}{100\pi} = \frac{12}{5}.$$

Ogólnie $\frac{V_a}{V_b} = \frac{\frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 5}{\frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12} = \frac{12}{5}$ - stosunek przyprostokątnych, i to tej, która staje się promieniem, do drugiej.

Odpowiedź. $V_a = 240\pi$, $P_a = 300\pi$; $V_b = 100\pi$, $P_b = 90\pi$; $V_a : V_b = 12 : 5$.

Większy stożek daje obrót wokół krótszej przyprostokątnej - promień wchodzi do wzoru w kwadracie, a wysokość tylko w pierwszej potędze. Lekcja: bryły obrotowe - zadania różne.