Czy funkcja f(x) = x³ − x jest parzysta, czy nieparzysta?

Krok 1. Liczymy $f(-x)$.

$f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x.$

Krok 2. Porównujemy z $f(x)$ oraz z $-f(x)$.

$-f(x) = -\left(x^3 - x\right) = -x^3 + x.$

Widzimy, że $f(-x) = -f(x)$ dla każdego $x$.

Krok 3. Wniosek. Funkcja jest nieparzysta. Oznacza to, że jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych - obrót o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$ nie zmienia go.

Dla porównania. Funkcja parzysta spełniałaby $f(-x) = f(x)$ i miałaby wykres symetryczny względem osi $OY$ (np. $x^2$). Tutaj tak nie jest, bo $-x^3 + x \ne x^3 - x$.

Odpowiedź. Funkcja jest nieparzysta; jej wykres jest symetryczny względem punktu $(0,0)$.