Wyznacz n: współczynnik przy xⁿ⁻² w rozwinięciu (x + 2)ⁿ równy 112

Krok 1. Wyraz ogólny.

$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} \cdot 2^k.$

Potęga $x^{n-2}$ pojawia się dla $k = 2$, więc szukany współczynnik to $\binom{n}{2} \cdot 2^2$.

Krok 2. Równanie.

$4 \cdot \binom{n}{2} = 112 \quad \Longleftrightarrow \quad \binom{n}{2} = 28 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{n(n-1)}{2} = 28.$

Krok 3. Rozwiązujemy.

$n^2 - n - 56 = 0, \qquad \Delta = 1 + 224 = 225 = 15^2, \qquad n = \frac{1 + 15}{2} = 8 \quad \text{lub} \quad n = \frac{1 - 15}{2} = -7.$

Liczba $-7$ nie jest naturalna, więc $n = 8$.

Krok 4. Sprawdzenie. W $(x + 2)^8$ współczynnik przy $x^6$ to $\binom{8}{2} \cdot 4 = 28 \cdot 4 = 112$.

Krok 5. Przykład b). Potęga $x^{n-1} = x^7$ odpowiada $k = 1$:

$\binom{8}{1} \cdot 2^1 = 16.$

Odpowiedź. a) $n = 8$; b) współczynnik przy $x^7$ wynosi $16$.