matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator trygonometryczny

Kalkulator trygonometryczny oblicza sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta - w stopniach albo w radianach, także ujemnego i większego od 360° - i rozpisuje rozwiązanie krok po kroku: pełne obroty, ćwiartka i znaki, wzór redukcyjny do kąta ostrego i wartość dokładna z pierwiastkiem (sin 210° = −1/2, cos 225° = −√2/2). Zamienia też stopnie na radiany i odwrotnie, a z jednej danej funkcji i ćwiartki wyznacza pozostałe trzy z jedynki trygonometrycznej. Metody i słowa są te same co w lekcjach działu trygonometria.

Stopnie: 210, −135, 22,5. Radiany: 7π/6, −π/3, 2π (π możesz wpisać jako „pi”) albo sama liczba, np. 2. Zapis z π jest zawsze traktowany jako radiany.

Przykłady z lekcji:

Funkcje trygonometryczne kąta α = 210°

WielkośćWynik
Kąt w radianach7π/6
Położenie ramieniaIII ćwiartka
sin α−1/2 = −0,5
cos α−√3/2 ≈ −0,866
tg α√3/3 ≈ 0,5774
ctg α√3 ≈ 1,7321
IIIIIIIV30°αP−√3/2−1/21Oxy
Okrąg jednostkowy: ramię kąta α = 210° przechodzi przez punkt P = (cos α, sin α) w III ćwiartce. Linią przerywaną zaznaczony kąt ostry 30° między ramieniem a osią OX - z niego biorą się wzory redukcyjne.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Kąt i pełne obroty

α = 210°

  1. Kąt 210° leży już w przedziale ⟨0°; 360°), więc nie odejmujemy pełnych obrotów.

Krok 2. Ćwiartka i znaki

III ćwiartka: sin −, cos −, tg +, ctg +

  1. 180° < 210° < 270°, więc ramię końcowe leży w III ćwiartce.
  2. Znaki z wierszyka „w pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus”: w III ćwiartce dodatnie są tylko tangens i cotangens, pozostałe funkcje są ujemne.

Krok 3. Wzory redukcyjne

210° = 180° + 30°

  1. Rozpisujemy kąt przez oś poziomą: 210° = 180° + 30°, gdzie 30° to kąt ostry między ramieniem a osią OX. Przy rozkładzie na 180° ± kąt ostry albo 360° − kąt ostry funkcja nie zmienia nazwy.
  2. Znak bierzemy z ćwiartki całego kąta (III) dla funkcji, którą liczymy.
  3. sin 210° = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2
  4. cos 210° = cos(180° + 30°) = −cos 30° = −√3/2
  5. tg 210° = tg(180° + 30°) = tg 30° = √3/3
  6. ctg 210° = ctg(180° + 30°) = ctg 30° = √3

Krok 4. Punkt na okręgu jednostkowym

P = (−√3/2, −1/2)

  1. Na okręgu o promieniu 1 ramię końcowe przechodzi przez punkt P = (cos α, sin α) = (−√3/2, −1/2).
  2. Sprawdzenie jedynką trygonometryczną: sin²α + cos²α = 1/4 + 3/4 = 1.

Jak kalkulator liczy wartości funkcji dowolnego kąta

Funkcje dowolnego kąta odczytujemy z punktu P = (x, y) na końcowym ramieniu kąta, leżącego w odległości r od początku układu. Na okręgu jednostkowym (r = 1) po prostu P = (cos α, sin α) - i właśnie ten punkt pokazuje rysunek w wyniku.

Wzory, z których korzysta kalkulator

sin⁡α=yr,cos⁡α=xr,tg⁡α=yx,ctg⁡α=xy\sin\alpha = \frac{y}{r}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}, \quad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}
sin⁡(α+k⋅360∘)=sin⁡α,cos⁡(α+k⋅360∘)=cos⁡α\sin(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin\alpha, \qquad \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos\alpha
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α,cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \qquad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α,cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha, \qquad \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha
sin⁡(360∘−α)=−sin⁡α,cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha, \qquad \cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha
180∘=π rad,αrad=α∘⋅π180∘,α∘=αrad⋅180∘π180^\circ = \pi \ \text{rad}, \qquad \alpha_{\text{rad}} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}, \qquad \alpha^\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
sin⁡2α+cos⁡2α=1,tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,ctg⁡α=1tg⁡α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}

Znaki: w I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II - tylko sinus, w III - tylko tangens i cotangens, w IV - tylko cosinus.

Kalkulator przechodzi zawsze te same cztery kroki, jak w lekcji o wzorach redukcyjnych:

  1. Pełne obroty precz. Kąt w radianach zamienia na stopnie (π = 180°), a potem dodaje albo odejmuje wielokrotność 360°, aż kąt trafi do przedziału ⟨0°; 360°). Przykład: 1110° = 3 · 360° + 30°.
  2. Ćwiartka i znaki. Ustala, w której ćwiartce leży ramię końcowe, i znaki funkcji z wierszyka „w pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus”.
  3. Wzór redukcyjny. Rozpisuje kąt jako 180° − β, 180° + β albo 360° − β z ostrym β - przy takim rozkładzie funkcja nie zmienia nazwy, a znak bierze z ćwiartki całego kąta. Przykład: tg 300° = tg(360° − 60°) = −tg 60° = −√3.
  4. Wartość z tablicy. Dla β = 30°, 45°, 60° podaje wartość dokładną. Dla innych kątów, np. 20°, wartości nie da się zapisać prostym pierwiastkiem - wtedy wynik jest przybliżony do 4 miejsc po przecinku, a kalkulator mówi o tym wprost.

Gdy ramię leży na osi (0°, 90°, 180°, 270°), kąt nie należy do żadnej ćwiartki - wartości odczytujemy z punktu (1, 0), (0, 1), (−1, 0) albo (0, −1), a tangens 270° i cotangens 180° nie istnieją (dzielenie przez zero).

Wartości funkcji trygonometrycznych - tablica

α0°30°45°60°90°
radiany0π/6π/4π/3π/2
sin α01/2√2/2√3/21
cos α1√3/2√2/21/20
tg α0√3/31√3nie istnieje
ctg αnie istnieje√31√3/30

Z tej tablicy i wzorów redukcyjnych wynikają wartości dla wszystkich kątów 120°, 135°, 150°, 210°, 225°… - pełne zestawienie jest w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, a wzory redukcyjne także w radianach - w tabeli wzorów redukcyjnych.

Jedna funkcja dana - jak wyznaczyć pozostałe

Jedynka trygonometryczna daje kwadrat szukanej funkcji, więc pierwiastek ma dwa znaki - wybiera go ćwiartka. Dla sin α = 5/13 w II ćwiartce wychodzi cos²α = 144/169 i cos α = −12/13 (w II ćwiartce cosinus jest ujemny), a stąd tg α = −5/12 i ctg α = −12/5. Gdy dany jest tangens, kalkulator wstawia sin α = tg α · cos α do jedynki, jak w przykładzie tg α = 2 w III ćwiartce, i usuwa niewymierność z mianownika (1/√5 = √5/5). Wynik kończy sprawdzenie: sin²α + cos²α = 1. Metodę wyjaśnia lekcja tożsamości trygonometryczne.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć sinus kąta większego od 90°?

Sprowadź kąt do ostrego wzorem redukcyjnym. Rozpisz go jako 180° − β, 180° + β albo 360° − β (β ostry) - wtedy funkcja nie zmienia nazwy - a znak weź z ćwiartki, w której leży cały kąt. Na przykład sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2, bo w II ćwiartce sinus jest dodatni.

Ile wynosi sin 210°?

sin 210° = −1/2. Kąt 210° = 180° + 30° leży w III ćwiartce, gdzie sinus jest ujemny, więc sin 210° = −sin 30° = −1/2. Tak samo cos 210° = −√3/2, tg 210° = √3/3, a ctg 210° = √3.

Jak zapamiętać znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach?

Wierszykiem: „w pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus”. To lista funkcji dodatnich w kolejnych ćwiartkach - pozostałe są w danej ćwiartce ujemne.

Jak obliczyć funkcje trygonometryczne kąta ujemnego albo większego od 360°?

Dodaj lub odejmij wielokrotność 360° (pełne obroty), aż kąt trafi do przedziału od 0° do 360° - ramię końcowe się nie zmieni, więc wartości funkcji też nie. Na przykład 1110° = 3 · 360° + 30°, więc sin 1110° = sin 30° = 1/2, a −135° = 225° − 360°, więc cos(−135°) = cos 225° = −√2/2.

Jak zamienić stopnie na radiany?

Pomnóż miarę w stopniach przez π/180° i skróć ułamek: 210° = 210π/180 = 7π/6. W drugą stronę wstaw π = 180°: 5π/6 = 5 · 180°/6 = 150°. Jeden radian (bez π) to około 57,3°.

Jak obliczyć cosinus, gdy znam sinus?

Z jedynki trygonometrycznej: cos²α = 1 − sin²α, a potem pierwiastek ze znakiem zależnym od ćwiartki. Dla sin α = 5/13 i kąta z II ćwiartki: cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, więc cos α = −12/13 (w II ćwiartce cosinus jest ujemny).

Jak obliczyć sinus i cosinus, gdy znam tangens?

Ze wzoru tg α = sin α / cos α wyznacz sin α = tg α · cos α i wstaw do jedynki. Dla tg α = 2 w III ćwiartce: 4cos²α + cos²α = 1, więc cos²α = 1/5, cos α = −√5/5 i sin α = 2cos α = −2√5/5.

Kiedy tangens nie istnieje?

Gdy cos α = 0, czyli dla kątów 90° i 270° (i różniących się od nich o wielokrotność 180°): tg α = y/x wymagałby dzielenia przez zero. Cotangens nie istnieje dla 0°, 180° i 360° - tam sin α = 0.

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/trygonometria/kalkulator-trygonometryczny · matematyka.net