Kalkulator wielomianów

Kalkulator wielomianów dzieli wielomian przez dwumian schematem Hornera (także przez x + a i 2x − 1), dzieli pisemnie przez dowolny wielomian z resztą, liczy resztę z twierdzenia o reszcie i twierdzenia Bézouta, szuka pierwiastków wymiernych wśród kandydatów p/q i rozkłada wielomian na czynniki z krotnościami pierwiastków. Każdy wynik rozpisuje krok po kroku, w ułamkach i uproszczonych pierwiastkach, tak jak w lekcjach działu wielomiany.

Schemat Hornera Dzielenie pisemne Pierwiastki i rozkład

W(x) = dzielnik:

Potęgi wpisuj przez ^ albo ², ³ (x^4 − 3x^3 + 5x − 7), współczynniki jako liczby całkowite, dziesiętne albo ułamki (1/2x^2). Stopień do 10. W schemacie Hornera dzielnik ma postać x − a, x + a albo np. 2x − 1.

Przykłady z lekcji:

Wyniki dla (2x³ − 3x² − 11x + 6) : (x − 3)

Wynik	Wartość
Dzielna	W(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6
Dzielnik	x − 3 (a = 3)
Iloraz	Q(x) = 2x² + 3x − 2
Reszta	r = W(3) = 0
Zapis	2x³ − 3x² − 11x + 6 = (x − 3)(2x² + 3x − 2)
Podzielność	tak - liczba 3 jest pierwiastkiem

Rozwiązanie krok po kroku

Dzielnik i liczba a

a = 3

Dzielnik ma postać x − a, więc a = 3.
Współczynniki W(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6 od najwyższej potęgi: 2, −3, −11, 6.

Schemat Hornera

reszta 0

Tabelka dla a = 3 (środkowy wiersz pokazuje, co dodajemy):
x³ x² x wyraz
wolny
W(x) 2 −3 −11 6
dodajemy 6 9 −6
a = 3 2 3 −2 0
Krok 1. Pierwszy współczynnik przepisujemy: 2.
Krok 2. 3 · 2 = 6, a −3 + 6 = 3.
Krok 3. 3 · 3 = 9, a −11 + 9 = −2.
Krok 4. 3 · (−2) = −6, a 6 + (−6) = 0 - to reszta.

	x³	x²	x	wyraz wolny
W(x)	2	−3	−11	6
dodajemy		6	9	−6
a = 3	2	3	−2	0

Iloraz i reszta

Q(x) = 2x² + 3x − 2, r = 0

Liczby 2, 3, −2 to współczynniki ilorazu. Dzielna ma stopień 3, więc iloraz ma stopień 2: 2x² + 3x − 2.
Zapis z twierdzenia o dzieleniu z resztą: W(x) = (x − 3) · Q(x) + r, czyli 2x³ − 3x² − 11x + 6 = (x − 3)(2x² + 3x − 2).

Twierdzenie o reszcie i twierdzenie Bézouta

3 jest pierwiastkiem, W(x) jest podzielny przez x − 3

Twierdzenie o reszcie: reszta z dzielenia W(x) przez (x − 3) jest równa W(3). Sprawdzamy podstawieniem:
W(3) = 2 · 3³ − 3 · 3² − 11 · 3 + 6 = 54 − 27 − 33 + 6 = 0.
W(3) = 0, więc z twierdzenia Bézouta liczba 3 jest pierwiastkiem W(x), a W(x) jest podzielny przez x − 3.

Wzory i twierdzenia, z których korzysta kalkulator

Dzielenie wielomianów i pierwiastki

Schemat Hornera (dzielenie $W(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ przez $x - a$ ):

b_{n-1} = a_n, \qquad b_{k-1} = a_k + a \cdot b_k

Twierdzenie o reszcie:

W(x) = (x - a)\,Q(x) + r, \qquad r = W(a)

Dzielenie z resztą przez dowolny wielomian $P \neq 0$ :

W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg R < \deg P

Twierdzenie Bézouta:

W(a) = 0 \iff (x - a) \mid W(x)

Pierwiastki wymierne (współczynniki całkowite, $\tfrac{p}{q}$ nieskracalny):

W\left(\tfrac{p}{q}\right) = 0 \implies p \mid a_0 \ \text{ i } \ q \mid a_n

Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta

Schemat Hornera dzieli wielomian przez dwumian x − a na samych współczynnikach: pierwszy przepisujemy, a każdy następny wynik to współczynnik plus a razy poprzedni wynik. Ostatnia liczba to reszta, równa W(a) - dlatego ten sam schemat jest szybkim sposobem liczenia wartości wielomianu (W(3) dla 2x⁴ − 5x³ + x² − 7x + 3) i sprawdzania, czy liczba jest pierwiastkiem. Gdy reszta wynosi 0, z twierdzenia Bézouta wielomian jest podzielny przez x − a. Kalkulator pokazuje tabelkę z wierszem „dodajemy”, zapis W(x) = (x − a)Q(x) + r i sprawdzenie reszty podstawieniem. Dzielnik x + 2 zamienia na a = −2, a 2x − 1 - na a = 1/2 z dzieleniem ilorazu przez 2. Metodę omawiają lekcje schemat Hornera i twierdzenie Bézouta.

Dzielenie pisemne wielomianów

Przez wielomian stopnia 2 i wyższego schemat Hornera nie dzieli - wtedy kalkulator dzieli pisemnie, w układzie kolumn „pod kreską”: iloraz nad kreską, pod nią dzielna z zerami za brakujące potęgi, a pod każdym krokiem iloczyn z przeciwnymi znakami. Reszta ma stopień mniejszy niż dzielnik - przy dzielniku stopnia 2 jest postaci px + q, np. (2x⁴ + 3x³ − x² + 5x − 4) : (x² + x − 2) daje iloraz 2x² + x + 2 i resztę 5x. Na końcu kalkulator sprawdza wynik mnożeniem P · Q + R. Więcej w lekcji dzielenie wielomianów.

Pierwiastki wymierne i rozkład na czynniki

W trybie „Pierwiastki i rozkład” kalkulator idzie tą samą drogą co lekcja o rozkładzie: wyłącza wspólny czynnik, rozpoznaje sumę i różnicę sześcianów (27x³ + 8), wielomian dwukwadratowy rozkłada przez podstawienie t = x² (x⁴ − 13x² + 36), a w pozostałych przypadkach wypisuje kandydatów p/q na pierwiastki wymierne i sprawdza ich schematem Hornera - po wierszu na kandydata. Po znalezieniu pierwiastka sprawdza go ponownie w ilorazie, więc wyłapuje pierwiastki wielokrotne (x⁴ − 5x³ + 6x² + 4x − 8 = (x + 1)(x − 2)³). Trójmian kwadratowy, który zostaje, rozkłada deltą: przy Δ < 0 zostawia go jako czynnik nierozkładalny, przy Δ > 0 podaje pierwiastki dokładne, także niewymierne (x⁴ + x² − 12 = (x + √3)(x − √3)(x² + 4)). Rozkłada też wielomiany bez pierwiastków, jak x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).

Wielomian	Metoda	Rozkład
6x⁴ − 9x³ + 3x²	wspólny czynnik, delta	3x²(2x − 1)(x − 1)
x³ − 3x² − 10x + 24	dzielniki 24, Horner	(x + 3)(x − 2)(x − 4)
2x³ − 3x² + 4x − 6	kandydaci p/q	(2x − 3)(x² + 2)
27x³ + 8	suma sześcianów	(3x + 2)(9x² − 6x + 4)
x⁴ − 13x² + 36	t = x²	(x + 3)(x + 2)(x − 2)(x − 3)
x³ − 3x + 1	brak pierwiastków wymiernych	nie rozkłada się

Najczęstsze pytania

Jak zrobić schemat Hornera?

Wypisz współczynniki wielomianu od najwyższej potęgi, wpisując 0 za brakujące potęgi. Pierwszy współczynnik przepisz, a każdy następny wynik policz jako „współczynnik + a · poprzedni wynik”. Ostatnia liczba to reszta, pozostałe to współczynniki ilorazu. Dla 2x³ − 3x² − 11x + 6 i a = 3: 2; −3 + 6 = 3; −11 + 9 = −2; 6 − 6 = 0, więc iloraz to 2x² + 3x − 2, reszta 0.

Jak podzielić wielomian przez x + 2 schematem Hornera?

Zapisz dzielnik jako x − (−2) i licz schemat z a = −2 - znak a jest przeciwny do znaku w dwumianie. Dla x³ + 4x² − x − 10: 1; 4 − 2 = 2; −1 − 4 = −5; −10 + 10 = 0, więc x³ + 4x² − x − 10 = (x + 2)(x² + 2x − 5).

Jak podzielić wielomian przez 2x − 1?

Zapisz 2x − 1 = 2(x − 1/2), policz schemat Hornera dla a = 1/2, a otrzymany iloraz podziel jeszcze przez 2. Reszta zostaje bez zmian. Dla 4x³ − 4x² + 5x − 2 schemat daje 4, −2, 4 i resztę 0, więc wynik to (2x − 1)(2x² − x + 2).

Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia?

Z twierdzenia o reszcie: reszta z dzielenia W(x) przez x − a jest równa W(a). Wystarczy podstawić a do wielomianu (przy dzielniku x + a podstawiamy −a). Na przykład reszta z dzielenia x⁵ − 3x³ + 2x − 7 przez x + 2 to W(−2) = −32 + 24 − 4 − 7 = −19.

Jak dzielić wielomian przez wielomian stopnia 2?

Pisemnie, „pod kreską”: dziel najwyższy wyraz dzielnej przez najwyższy wyraz dzielnika, pomnóż wynik przez cały dzielnik, zapisz iloczyn z przeciwnymi znakami i dodaj - aż stopień tego, co zostało, spadnie poniżej 2. Reszta ma wtedy postać px + q. Schemat Hornera przez trójmian nie dzieli.

Jak znaleźć pierwiastki wymierne wielomianu?

Gdy współczynniki są całkowite, pierwiastek wymierny p/q (ułamek nieskracalny) ma licznik dzielący wyraz wolny i mianownik dzielący współczynnik przy najwyższej potędze. Wypisz tych kandydatów i sprawdzaj ich schematem Hornera - reszta 0 oznacza pierwiastek. Dla 2x³ − 3x² + 4x − 6 kandydaci to ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2, a pierwiastkiem jest tylko 3/2.

Jak rozłożyć wielomian na czynniki?

Wyłącz wspólny czynnik, sprawdź wzory skróconego mnożenia, przy samych potęgach parzystych podstaw t = x², a gdy nic nie pasuje, znajdź pierwiastek wśród kandydatów p/q i podziel schematem Hornera. Rozkładaj dalej, aż zostaną czynniki liniowe i trójmiany kwadratowe z ujemną deltą.

Jak sprawdzić krotność pierwiastka?

Po znalezieniu pierwiastka podziel wielomian schematem Hornera i sprawdź ten sam pierwiastek jeszcze raz w ilorazie. Ile razy z rzędu reszta wyjdzie zerowa, taka jest krotność. Dla x⁴ − 5x³ + 6x² + 4x − 8 liczba 2 daje resztę 0 trzy razy, więc W(x) = (x + 1)(x − 2)³.

Czy kalkulator rozłoży każdy wielomian?

Każdy, który da się rozłożyć metodami szkolnymi: znajdzie wszystkie pierwiastki wymierne z krotnościami, rozłoży trójmiany kwadratowe (także z pierwiastkami niewymiernymi) i czynniki bez pierwiastków, takie jak x⁴ + 4. Gdy wielomian nie ma rozkładu o współczynnikach wymiernych (np. x³ − 3x + 1), kalkulator to mówi i podaje przybliżone pierwiastki.

Przećwicz i doczytaj

Dzielenie wielomianów - dzielenie pisemne z resztą, także przez trójmian
Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta - reszta bez dzielenia, parametr z podzielności
Pierwiastki wymierne wielomianu i pierwiastek wielokrotny
Rozkład wielomianu na czynniki i równania wielomianowe
Wielomiany - zadania z rozwiązaniami, m.in. schemat Hornera i twierdzenie Bézouta, dzielenie, pierwiastki wymierne i rozkład na czynniki
Kalkulator funkcji kwadratowej - delta i postać iloczynowa trójmianu krok po kroku