Zbiory liczbowe - oznaczenia N, Z, Q, R i ich znaki

Co to jest zbiór liczbowy

Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby. Oś liczbowa to prosta, na której ustalono punkt zerowy, jednostkę i zwrot dodatni - każdej liczbie rzeczywistej odpowiada na niej dokładnie jeden punkt i odwrotnie.

Dział matematyki zajmujący się zbiorami i ich własnościami nazywa się teorią mnogości (inaczej: teorią zbiorów). To na jej gruncie zdefiniowano pojęcia, którymi posługuje się cała współczesna matematyka - łącznie z pojęciem liczby.

Oznaczenia zbiorów liczbowych

Symbole zbiorów liczbowych pisze się czcionką o podwójnej kresce (tzw. blackboard bold):

Indeks dolny $+$ lub $-$ oznacza część dodatnią albo ujemną zbioru: $\mathbb{Z}_{+}$ to liczby całkowite dodatnie, $\mathbb{R}_{-}$ - rzeczywiste ujemne. Szerzej: liczby dodatnie.

Polskie oznaczenia tradycyjne

W starszych polskich podręcznikach spotyka się oznaczenia wzięte od polskich nazw, inne niż międzynarodowe:

• $N$ - liczby naturalne (tak samo),
• $C$ - liczby całkowite (międzynarodowo $\mathbb{Z}$, od niemieckiego Zahlen),
• $W$ - liczby wymierne (międzynarodowo $\mathbb{Q}$, od quotient - iloraz),
• $NW$ lub $IW$ - liczby niewymierne (międzynarodowo $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$),
• $R$ - liczby rzeczywiste (tak samo).

Oba zestawy znaczą dokładnie to samo. Na maturze i w nowych podręcznikach obowiązują oznaczenia międzynarodowe, warto jednak rozpoznawać i te starsze.

Liczby naturalne

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$

To liczby służące do liczenia przedmiotów. W polskiej konwencji szkolnej zero należy do liczb naturalnych; w części literatury zagranicznej zbiór ten zaczyna się od jedynki, dlatego przy rozbieżnościach używa się zapisu $\mathbb{N}_{+}$ albo $\mathbb{N}_{0}$.

Zbiór liczb naturalnych jest zamknięty na dodawanie i mnożenie, ale nie na odejmowanie - $3 - 5$ nie jest liczbą naturalną. To właśnie brak wyniku odejmowania wymusił rozszerzenie zbioru o liczby ujemne.

Liczby całkowite

$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$

Liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi. Zbiór jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie i mnożenie, ale nie na dzielenie - $\tfrac{1}{2}$ całkowita nie jest. Stąd kolejne rozszerzenie.

Liczby wymierne

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z}, \; q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\right\}$

Liczba wymierna to liczba dająca się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Równoważnie: liczba, której rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo nieskończone okresowe - $\tfrac{3}{4} = 0{,}75$, $\tfrac{1}{3} = 0{,}(3)$. Szerzej: liczby dziesiętne.

Zbiór liczb wymiernych jest zamknięty na wszystkie cztery działania (poza dzieleniem przez zero). Mimo to wciąż ma „dziury”: długość przekątnej kwadratu o boku $1$ nie jest liczbą wymierną.

Liczby niewymierne

Liczba niewymierna to liczba rzeczywista, która nie jest wymierna - nie da się jej zapisać w postaci $\tfrac{p}{q}$. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe:

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots, \qquad \pi = 3{,}14159265\ldots, \qquad e = 2{,}71828182\ldots$

Odkrycie, że $\sqrt{2}$ nie jest wymierny, zburzyło pitagorejski obraz świata - dowód znajdziesz w dziale twierdzeń: niewymierność pierwiastka z dwóch.

Suma i iloczyn liczb niewymiernych nie muszą być niewymierne: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, a $(2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 2$.

Liczby rzeczywiste

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$

Liczby wymierne i niewymierne razem wypełniają całą oś liczbową bez reszty: każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt osi i każdemu punktowi osi - dokładnie jedna liczba rzeczywista. Tę własność nazywamy ciągłością zbioru liczb rzeczywistych.

Zbiór rozkłada się też według znaku:

$\mathbb{R} = \mathbb{R}_{+} \cup \{0\} \cup \mathbb{R}_{-}.$

Zawieranie się zbiorów

Kolejne rozszerzenia układają się w łańcuch:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.$

Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita - wymierna, a każda wymierna - rzeczywista. Odwrotne zawierania nie zachodzą: $-3$ jest całkowita, ale nie naturalna, a $\sqrt{2}$ jest rzeczywista, ale nie wymierna.

Zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne i razem dają wszystkie liczby rzeczywiste:

$\mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q} \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = \varnothing.$

Znaki używane przy zbiorach

• $\in$ - należy do zbioru: $3 \in \mathbb{N}$,
• $\notin$ - nie należy: $\tfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$,
• $\subset$ - zawiera się w (jest podzbiorem): $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$,
• $\cup$ - suma zbiorów (elementy należące do któregokolwiek),
• $\cap$ - iloczyn (część wspólna),
• $\setminus$ - różnica zbiorów: $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ to liczby niewymierne,
• $\varnothing$ - zbiór pusty,
• $\{x : \ldots\}$ - zbiór elementów spełniających warunek.

Działania na zbiorach i ich prawa omawia osobna strona: działania na zbiorach.

Moc zbioru

Moc zbioru to uogólnienie liczby elementów na zbiory nieskończone. Zbiory $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$ mają tę samą moc - są przeliczalne, czyli ich elementy da się ustawić w ciąg. Zbiór $\mathbb{R}$ jest nieprzeliczalny i ma moc większą, zwaną continuum.

Innymi słowy: liczb wymiernych jest „tyle samo” co naturalnych, ale liczb rzeczywistych jest istotnie więcej. Dowód tego faktu - przez metodę przekątniową Cantora - należy do najsłynniejszych w matematyce. Szerzej o samym pojęciu: moc zbioru.

Najczęstsze pytania

Jakie są oznaczenia zbiorów liczbowych?$\mathbb{N}$ - naturalne, $\mathbb{Z}$ - całkowite, $\mathbb{Q}$ - wymierne, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ - niewymierne, $\mathbb{R}$ - rzeczywiste, $\mathbb{C}$ - zespolone. W starszych polskich podręcznikach: $N$, $C$, $W$, $NW$, $R$.

Czy zero jest liczbą naturalną? W polskiej konwencji szkolnej tak - $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$. W części literatury zagranicznej zbiór zaczyna się od jedynki, dlatego bywa dopisywany indeks: $\mathbb{N}_{0}$ albo $\mathbb{N}_{+}$.

Jak nazywa się dział matematyki o zbiorach?Teoria mnogości, inaczej teoria zbiorów.

Czy każda liczba rzeczywista jest wymierna? Nie. Liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne (o rozwinięciu skończonym lub okresowym) i niewymierne (o rozwinięciu nieskończonym nieokresowym), jak $\pi$ czy $\sqrt{2}$.

Dlaczego liczby całkowite oznacza się literą Z? Od niemieckiego Zahlen - liczby. Analogicznie $\mathbb{Q}$ pochodzi od quotient (iloraz), bo liczba wymierna to iloraz liczb całkowitych.

Czy $\mathbb{Q}$ zawiera się w $\mathbb{R}$? Tak, i to ściśle: każda liczba wymierna jest rzeczywista, ale nie odwrotnie.

Podsumowanie

• Zbiory liczbowe tworzą łańcuch $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$; każde rozszerzenie dokłada wyniki działania, które wcześniej nie miało rozwiązania.
• Oznaczenia międzynarodowe: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$; polskie tradycyjne: $N$, $C$, $W$, $NW$, $R$.
• Liczba wymierna to iloraz liczb całkowitych - równoważnie liczba o rozwinięciu dziesiętnym skończonym lub okresowym.
• Liczby wymierne i niewymierne są rozłączne i razem dają wszystkie liczby rzeczywiste.
• Zbiory $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$ są przeliczalne, $\mathbb{R}$ ma moc continuum - jest istotnie „większy”.
• Dział matematyki zajmujący się zbiorami to teoria mnogości.