Liczby dziesiętne - ułamki i rozwinięcia dziesiętne

Co to jest liczba dziesiętna

Liczba dziesiętna to liczba zapisana w systemie dziesiątkowym z użyciem przecinka - cyfry po lewej stronie opisują część całkowitą, cyfry po prawej część ułamkową. Zapis $3{,}75$ znaczy dokładnie tyle:

$3{,}75 = 3 + \frac{7}{10} + \frac{5}{100} = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}.$

W węższym, szkolnym znaczeniu liczbami dziesiętnymi nazywa się te liczby wymierne, które da się zapisać jako ułamek o mianowniku będącym potęgą dziesiątki - czyli takie, których rozwinięcie dziesiętne jest skończone. W szerszym, potocznym znaczeniu „liczba dziesiętna” to po prostu każda liczba zapisana z przecinkiem.

Każda liczba dziesiętna o skończonym rozwinięciu jest liczbą wymierną - bo z definicji jest ułamkiem o mianowniku $10^n$. Odwrotnie już nie: nie każda liczba wymierna ma rozwinięcie skończone, o czym niżej.

Jak nazywa się przecinek w liczbie dziesiętnej

Znak oddzielający część całkowitą od ułamkowej to przecinek dziesiętny. Spotyka się też nazwę separator dziesiętny - i to ona jest ogólniejsza, bo w różnych krajach używa się różnych znaków:

• W Polsce i w większości Europy separatorem jest przecinek: $3{,}14$.
• W krajach anglosaskich (i w programowaniu, i na kalkulatorach) jest nim kropka: $3.14$.

Dlatego arkusz kalkulacyjny ustawiony na „polski” nie zrozumie liczby wpisanej z kropką i na odwrót. Międzynarodowy układ jednostek SI dopuszcza oba znaki, zaleca natomiast, by cyfry grupować spacją, a nie kropką ani przecinkiem: $1\,234\,567{,}89$.

Nazwy miejsc po przecinku

Kolejne cyfry po przecinku to części dziesiąte, setne, tysięczne i tak dalej - każda kolejna pozycja jest dziesięć razy mniejsza od poprzedniej:

• pierwsza cyfra po przecinku - części dziesiąte ($\tfrac{1}{10}$),
• druga - części setne ($\tfrac{1}{100}$),
• trzecia - części tysięczne ($\tfrac{1}{1000}$),
• czwarta - części dziesięciotysięczne, piąta - stutysięczne, szósta - milionowe.

W liczbie $0{,}4071$ cyfra $4$ oznacza cztery części dziesiąte, $0$ - zero części setnych, $7$ - siedem tysięcznych, a $1$ - jedną dziesięciotysięczną.

Kiedy rozwinięcie jest skończone

Nie każdy ułamek zwykły da się zapisać skończonym rozwinięciem dziesiętnym. Rozstrzyga o tym mianownik po skróceniu:

Ułamek nieskracalny $\tfrac{p}{q}$ ma skończone rozwinięcie dziesiętne dokładnie wtedy, gdy $q = 2^n \cdot 5^k$, czyli gdy w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze występują wyłącznie dwójki i piątki.

Dlaczego tak jest. Skończone rozwinięcie o $m$ cyfrach po przecinku to ułamek o mianowniku $10^m = 2^m \cdot 5^m$. Jeśli $\tfrac{p}{q}$ da się zapisać w takiej postaci, to $q$ musi dzielić $10^m$ - a dzielnikami potęgi dziesiątki są wyłącznie liczby postaci $2^n \cdot 5^k$. W drugą stronę: mając $q = 2^n \cdot 5^k$, wystarczy rozszerzyć ułamek tak, by mianownik stał się $10^{\max(n,k)}$.

Przykłady.

• $\tfrac{3}{8}$: mianownik $8 = 2^3$, więc rozwinięcie jest skończone. Rozszerzamy do $\tfrac{3 \cdot 125}{1000} = \tfrac{375}{1000} = 0{,}375$.
• $\tfrac{7}{20}$: $20 = 2^2 \cdot 5$, skończone - $\tfrac{35}{100} = 0{,}35$.
• $\tfrac{5}{6}$: $6 = 2 \cdot 3$, w mianowniku jest trójka, więc rozwinięcie nie będzie skończone - istotnie $\tfrac{5}{6} = 0{,}8(3)$.

Uwaga na słowo nieskracalny: ułamek $\tfrac{6}{15}$ ma w mianowniku trójkę, ale po skróceniu przez $3$ daje $\tfrac{2}{5} = 0{,}4$. Warunek sprawdzamy dopiero po skróceniu.

Rozwinięcie nieskończone okresowe

Gdy w mianowniku siedzi czynnik inny niż dwójka i piątka, dzielenie nigdy się nie kończy - za to reszty zaczynają się powtarzać, a wraz z nimi cyfry ilorazu. Powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie:

$\frac{1}{3} = 0{,}(3), \qquad \frac{5}{6} = 0{,}8(3), \qquad \frac{1}{7} = 0{,}(142857), \qquad \frac{1}{11} = 0{,}(09).$

Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, rozwinięcie nazywamy czysto okresowym ($\tfrac{1}{3}$); gdy poprzedza go grupa cyfr nieokresowych - mieszanym ($\tfrac{5}{6}$).

Okres nie może być dłuższy niż $q - 1$ cyfr, bo przy dzieleniu przez $q$ różnych niezerowych reszt jest najwyżej tyle. Widać to na $\tfrac{1}{7}$: okres ma dokładnie sześć cyfr, czyli maksimum możliwe dla siódemki.

Wniosek ogólny: rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest zawsze skończone albo nieskończone okresowe. Trzeciej możliwości nie ma.

Zamiana ułamka okresowego na zwykły

Każdy ułamek okresowy można zamienić z powrotem na ułamek zwykły. Chwyt polega na przemnożeniu przez odpowiednią potęgę dziesiątki i odjęciu.

Przykład 1: $x = 0{,}(27)$. Okres ma dwie cyfry, więc mnożymy przez $100$:

$100x = 27{,}(27), \qquad 100x - x = 27{,}(27) - 0{,}(27) = 27,$

czyli $99x = 27$ i $x = \tfrac{27}{99} = \tfrac{3}{11}$.

Przykład 2: $x = 0{,}1(6)$. Najpierw przesuwamy przecinek za część nieokresową ($10x = 1{,}(6)$), a potem o długość okresu ($100x = 16{,}(6)$). Odejmujemy stronami:

$100x - 10x = 16{,}(6) - 1{,}(6) = 15,$

czyli $90x = 15$ i $x = \tfrac{15}{90} = \tfrac{1}{6}$.

Reguła w skrócie. Dla ułamka czysto okresowego w liczniku stawiamy okres, a w mianowniku tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres: $0{,}(7) = \tfrac{7}{9}$, $0{,}(123) = \tfrac{123}{999}$.

Rozwinięcia nieokresowe - liczby niewymierne

Jeśli rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, liczba nie jest wymierna - nie da się jej zapisać jako ilorazu liczb całkowitych. Tak zachowują się

$\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots, \qquad \pi = 3{,}14159265\ldots, \qquad e = 2{,}71828182\ldots$

To właśnie rozróżnienie dzieli liczby rzeczywiste na wymierne i niewymierne. Dowód, że $\sqrt{2}$ jest niewymierny, znajdziesz w dziale twierdzeń: niewymierność pierwiastka z dwóch.

Zaokrąglanie liczb dziesiętnych

Zaokrąglamy, patrząc na pierwszą odrzucaną cyfrę: gdy jest to $0$, $1$, $2$, $3$ lub $4$ - ostatnią zachowywaną cyfrę zostawiamy bez zmian; gdy $5$, $6$, $7$, $8$ lub $9$ - zwiększamy ją o jeden.

• $3{,}14159$ do części setnych: $3{,}14$ (odrzucana cyfra to $1$).
• $2{,}718$ do części dziesiątych: $2{,}7$ (odrzucana cyfra to $1$).
• $0{,}0851$ do części setnych: $0{,}09$ (odrzucana cyfra to $5$).
• $9{,}97$ do części dziesiątych: $10{,}0$ - zaokrąglenie przeskakuje przez pełną jedność.

Więcej o błędzie zaokrąglenia i szacowaniu wyników: przybliżenia, błędy i szacowanie.

Najczęstsze pytania

Jak nazywa się przecinek w liczbie dziesiętnej? To przecinek dziesiętny, ogólniej separator dziesiętny. W Polsce i większości Europy jest nim przecinek, w krajach anglosaskich - kropka.

Czy każda liczba dziesiętna jest wymierna? Każda o rozwinięciu skończonym lub okresowym - tak. Liczba zapisana z przecinkiem, której rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe (jak $\pi$), jest niewymierna.

Jak poznać, czy ułamek będzie miał skończone rozwinięcie? Skrócić go do postaci nieskracalnej i rozłożyć mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli są tam wyłącznie dwójki i piątki - rozwinięcie jest skończone. Każdy inny czynnik oznacza rozwinięcie okresowe.

Czy $0{,}(9)$ równa się $1$? Tak, dokładnie. Z reguły zamiany: $0{,}(9) = \tfrac{9}{9} = 1$. To nie jest przybliżenie ani sztuczka zapisu - to dwa zapisy tej samej liczby, tak jak $\tfrac{1}{2}$ i $0{,}5$.

Ile cyfr może mieć okres? Przy dzieleniu przez $q$ okres ma najwyżej $q - 1$ cyfr, bo tyle jest możliwych niezerowych reszt. Dla $\tfrac{1}{7}$ okres osiąga to maksimum i ma sześć cyfr.

Czym różni się ułamek dziesiętny od zwykłego? Tylko zapisem. $\tfrac{3}{4}$ i $0{,}75$ to ta sama liczba - pierwszy zapis to ułamek zwykły, drugi dziesiętny.

Podsumowanie

• Liczba dziesiętna to liczba z przecinkiem; znak rozdzielający nazywa się przecinkiem dziesiętnym (separatorem dziesiętnym).
• Kolejne miejsca po przecinku to części dziesiąte, setne, tysięczne i tak dalej.
• Ułamek nieskracalny ma rozwinięcie skończone dokładnie wtedy, gdy jego mianownik jest postaci $2^n \cdot 5^k$.
• W pozostałych przypadkach rozwinięcie jest nieskończone okresowe, a okres zapisujemy w nawiasie: $\tfrac{1}{3} = 0{,}(3)$.
• Ułamek okresowy zamieniamy na zwykły przez pomnożenie przez potęgę dziesiątki i odjęcie - dla czysto okresowego wystarczy reguła „okres przez tyle dziewiątek, ile cyfr okresu”.
• Rozwinięcie nieskończone i nieokresowe ma tylko liczba niewymierna, np. $\pi$ czy $\sqrt{2}$.