matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator geometrii analitycznej

Kalkulator geometrii analitycznej liczy ze współrzędnych punktów i równań prostych: długość i środek odcinka, równanie prostej przez dwa punkty (w postaci kierunkowej y = ax + b i ogólnej Ax + By + C = 0), symetralną odcinka, prostą równoległą i prostopadłą przez punkt, odległość punktu od prostej, punkt przecięcia i kąt między prostymi oraz pole trójkąta z wierzchołków. Każdy wynik rozpisuje krok po kroku, w wartościach dokładnych (ułamki, pierwiastki w postaci 2√5), i rysuje w układzie współrzędnych. Wzory i słowa są te same co w lekcjach działu geometria analityczna.

A = ( , )
B = ( , )

Współrzędne: liczby całkowite, dziesiętne (0,5 albo 0.5) i ułamki (3/4). Prostą wpisz w dowolnej postaci: y = 2x − 1, 3x − 4y + 6 = 0, x = 2, 2y = x + 4.

Przykłady z lekcji:

Wyniki dla A = (−1, 4), B = (3, −4)

WielkośćWynik
Długość |AB|4√5 ≈ 8,9443
Środek S(1, 0)
Współczynnik kierunkowya = −2
Kąt nachyleniaα ≈ 116,57°
Prosta ABy = −2x + 2
Postać ogólna2x + y − 2 = 0
Symetralnay = (1/2)x − 1/2
−4−246−4−220xyA(−1, 4)B(3, −4)S(1, 0)ABs
Odcinek AB (|AB| = 4√5), jego środek S = (1, 0), prosta AB y = −2x + 2 i symetralna s (linia przerywana) y = (1/2)x − 1/2.

Rozwiązanie krok po kroku

Długość odcinka AB

|AB| = 4√5

  1. Różnice współrzędnych: x_B − x_A = 3 − (−1) = 4, y_B − y_A = −4 − 4 = −8.
  2. Ze wzoru |AB| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²): |AB| = √(4² + (−8)²) = √(16 + 64) = √80 = √(16 · 5) = 4√5.
  3. W przybliżeniu |AB| ≈ 8,9443.

Środek odcinka AB

S = (1, 0)

  1. Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców: S = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2).
  2. S = ((−1 + 3)/2, (4 + (−4))/2) = (2/2, 0/2) = (1, 0).

Prosta AB

y = −2x + 2, czyli 2x + y − 2 = 0

  1. Współczynnik kierunkowy: a = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) = (−4 − 4)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
  2. Kąt nachylenia do osi OX: tg α = −2 < 0, więc kąt jest rozwarty: α = 180° − arctg 2 ≈ 116,57°.
  3. Prosta przez punkt A o współczynniku a: y − y_A = a(x − x_A), czyli y − 4 = −2(x + 1) ⟹ y − 4 = −2x − 2 ⟹ y = −2x + 2.
  4. Sprawdzenie punktem B: −2 · 3 + 2 = −4 ✓ - zgadza się z y_B = −4.
  5. Postać ogólna ze wzoru (y − y_A)(x_B − x_A) = (y_B − y_A)(x − x_A): (y − 4) · 4 = (−8) · (x + 1) ⟹ 4y − 16 = −8x − 8 ⟹ −8x − 4y + 8 = 0.
  6. Porządkujemy: dzielimy obie strony przez −4: 2x + y − 2 = 0.

Symetralna odcinka AB

y = (1/2)x − 1/2, czyli x − 2y − 1 = 0

  1. Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek S = (1, 0) i jest prostopadła do AB - każdy jej punkt jest równo oddalony od A i od B.
  2. Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy spełniający a · a₁ = −1 (odwracamy ułamek i zmieniamy znak): a₁ = −1/(−2) = 1/2.
  3. y − y_S = a₁(x − x_S): y = (1/2)(x − 1) ⟹ y = (1/2)x − 1/2.
  4. Sprawdzenie prostopadłości: (−2) · (1/2) = −1 ✓.
  5. Postać ogólna symetralnej: x − 2y − 1 = 0 (wektor AB = [4, −8] jest do niej prostopadły).

Wzory, z których korzysta kalkulator

Punkty, proste i trójkąt w układzie współrzędnych

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
S=(xA+xB2, yA+yB2)S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)
a=yB−yAxB−xA,y−yA=a(x−xA)a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \qquad y - y_A = a(x - x_A)
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
W=A1B2−A2B1,k⊥l  ⟺  A1A2+B1B2=0W = A_1B_2 - A_2B_1, \qquad k \perp l \iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0
P=12∣det⁡(AB→,AC→)∣P = \frac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)\right|
det⁡=(xB−xA)(yC−yA)−(yB−yA)(xC−xA)\det = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)

Kierunkowa czy ogólna - którą postać prostej wybrać

Cechay = ax + bAx + By + C = 0
prosta pionowanie da się zapisaćtak, B = 0 (x − 2 = 0)
równoległea₁ = a₂A₁B₂ − A₂B₁ = 0
prostopadłea₁ · a₂ = −1A₁A₂ + B₁B₂ = 0
odległość punktunajpierw zamiana na ogólnąwzór wprost

Kalkulator przyjmuje prostą w każdej postaci i zawsze pokazuje obie. W postaci ogólnej zapisuje ją liczbami całkowitymi bez wspólnego dzielnika, z dodatnim współczynnikiem przy x - tak jak w lekcjach. Uwaga na pułapkę z lekcji: przy odległości prostych równoległych oba równania muszą mieć te same A i B, więc 6x − 8y + 1 = 0 trzeba najpierw podzielić przez 2.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć odległość punktu od prostej?

Zapisz prostą w postaci ogólnej Ax + By + C = 0, podstaw współrzędne punktu do lewej strony, weź wartość bezwzględną i podziel przez √(A² + B²). Dla P = (5, −1) i prostej 3x − 4y + 6 = 0: d = |15 + 4 + 6| / √(9 + 16) = 25/5 = 5. Prostą y = 2x + 1 trzeba najpierw przepisać jako 2x − y + 1 = 0.

Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Oblicz współczynnik kierunkowy a = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), podstaw jeden z punktów do wzoru y − y_A = a(x − x_A) i wyznacz y. Dla A = (−1, 4) i B = (3, −4): a = −8/4 = −2, y − 4 = −2(x + 1), czyli y = −2x + 2. Gdy x_A = x_B, prosta jest pionowa: x = x_A.

Jak wyznaczyć symetralną odcinka?

Symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła. Oblicz środek S, współczynnik kierunkowy odcinka a, a potem prostą przez S o współczynniku −1/a. Dla A = (1, 4), B = (5, 2): S = (3, 3), a = −1/2, więc symetralna ma współczynnik 2 i równanie y = 2x − 3.

Jak sprawdzić, czy proste są równoległe albo prostopadłe?

W postaci kierunkowej proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe, a prostopadłe, gdy iloczyn współczynników wynosi −1. W postaci ogólnej: równoległe, gdy A₁B₂ − A₂B₁ = 0, prostopadłe, gdy A₁A₂ + B₁B₂ = 0 - ten warunek działa także dla prostych pionowych.

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?

Punkt przecięcia to rozwiązanie układu równań obu prostych. Dla x − 2y + 4 = 0 i 3x + y − 9 = 0 z drugiego równania y = 9 − 3x, po podstawieniu x − 2(9 − 3x) = −4, czyli 7x = 14, x = 2 i y = 3. Jeśli W = A₁B₂ − A₂B₁ = 0, proste są równoległe albo się pokrywają.

Jak obliczyć pole trójkąta, mając współrzędne wierzchołków?

Wyznacz wektory AB i AC, policz ich wyznacznik (x_B − x_A)(y_C − y_A) − (y_B − y_A)(x_C − x_A) i weź połowę jego wartości bezwzględnej. Dla A = (−3, −2), B = (4, 1), C = (0, 5): AB = [7, 3], AC = [3, 7], wyznacznik 49 − 9 = 40, pole 20.

Jak sprawdzić, czy trzy punkty leżą na jednej prostej?

Policz wyznacznik wektorów AB i AC. Jeśli wynosi zero, punkty są współliniowe („trójkąt” ma pole 0). Dla A = (−1, −4), B = (2, 2), C = (5, 8): AB = [3, 6], AC = [6, 12], wyznacznik 36 − 36 = 0 - punkty leżą na prostej y = 2x − 2.

Jak wyznaczyć rzut punktu na prostą i punkt symetryczny względem prostej?

Rzut H to punkt przecięcia prostej z prostopadłą przez dany punkt. Szybciej: H = (x₀ − tA, y₀ − tB), gdzie t = (Ax₀ + By₀ + C)/(A² + B²). Punkt symetryczny P′ leży tak, że H jest środkiem odcinka PP′: P′ = (2x_H − x₀, 2y_H − y₀). Dla P = (5, −1) i 3x − 4y + 6 = 0: H = (2, 3), P′ = (−1, 7).

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/geometria-analityczna/kalkulator-geometrii-analitycznej · matematyka.net