Punkt w geometrii - pojęcie pierwotne. Ile ma wymiarów?

Co to jest punkt

Punkt to jedno z podstawowych pojęć geometrii - element zbioru, który wraz ze swoją strukturą tworzy przestrzeń. Punktami nazywa się elementy przestrzeni afinicznej, euklidesowej, metrycznej i innych.

W większości ujęć geometrii, w tym w szkolnym, punkt jest pojęciem pierwotnym - czyli takim, którego się nie definiuje. Nie da się go sprowadzić do czegoś prostszego; opisują go dopiero aksjomaty mówiące, jak punkty zachowują się wobec prostych i płaszczyzn (np. „przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta”). Euklides próbował jeszcze definiować punkt jako „to, co nie ma części”, ale współczesna matematyka z takich opisów zrezygnowała.

Pojęciami pierwotnymi są w geometrii także prosta i płaszczyzna. O tym, dlaczego niektóre pojęcia muszą zostać niezdefiniowane, mówi lekcja definicja, twierdzenie, dowód.

Ile wymiarów ma punkt

Punkt jest figurą zerowymiarową ($0$-wymiarową) - nie ma długości, szerokości ani wysokości. Wyznacza jedynie położenie w przestrzeni.

To z punktów budujemy obiekty wyższych wymiarów: prosta jest jednowymiarowa, płaszczyzna - dwuwymiarowa, a przestrzeń - trójwymiarowa. Liczba wymiarów odpowiada liczbie współrzędnych potrzebnych do wskazania położenia: na prostej wystarczy jedna liczba, na płaszczyźnie dwie, w przestrzeni trzy. Dla punktu nie potrzeba żadnej - punkt jest położeniem.

Jak oznaczamy punkty

Punkty oznaczamy wielkimi literami alfabetu łacińskiego: $A$, $B$, $C$, $\ldots$, $P$, $S$. Na rysunku zaznacza się je kropką albo krzyżykiem i podpisuje literą.

W układzie współrzędnych punkt zapisujemy przez jego współrzędne:

$A = (3, -2) \quad \text{na płaszczyźnie}, \qquad P = (x, y, z) \quad \text{w przestrzeni}.$

Pierwsza współrzędna to odcięta (współrzędna $x$), druga - rzędna (współrzędna $y$). Kolejność ma znaczenie: $(3, -2)$ i $(-2, 3)$ to dwa różne punkty.

Pewne punkty mają nazwy zwyczajowe: $O$ to zwykle początek układu współrzędnych $(0,0)$, a $S$ - środek odcinka, okręgu lub symetrii.

Odległość dwóch punktów

Odległość punktów $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ liczymy ze wzoru wynikającego wprost z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$

Przykład. Dla $A = (1, 2)$ i $B = (4, 6)$:

$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$

W przestrzeni dochodzi trzeci składnik: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Środek odcinka

Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych jego końców:

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \; \frac{y_A + y_B}{2}\right).$

Przykład. Środkiem odcinka o końcach $A = (-3, 1)$ i $B = (5, 7)$ jest $S = \left(\tfrac{-3+5}{2}, \tfrac{1+7}{2}\right) = (1, 4)$.

Punkty współliniowe i wzajemne położenie

• Punkty współliniowe - leżące na jednej prostej. Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta, więc dopiero od trzech punktów współliniowość jest warunkiem nietrywialnym.
• Punkty współpłaszczyznowe - leżące na jednej płaszczyźnie. Trzy punkty niewspółliniowe wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę - dlatego trójnożny stołek nigdy się nie chwieje.
• Punkt wewnętrzny i brzegowy figury - punkt wewnętrzny ma całe swoje otoczenie zawarte w figurze, brzegowy leży „na krawędzi”.

O tym, jak punkty, proste i płaszczyzny układają się w przestrzeni, mówi osobna strona: proste i płaszczyzny.

Punkty szczególne w figurach

W trójkącie cztery klasyczne punkty powstają jako przecięcia prostych szczególnych:

• środek ciężkości - przecięcie środkowych, dzieli każdą w stosunku $2 : 1$,
• ortocentrum - przecięcie wysokości,
• środek okręgu opisanego - przecięcie symetralnych boków,
• środek okręgu wpisanego - przecięcie dwusiecznych kątów.

Osobną ciekawostką jest punkt Fermata (Torricellego) - punkt, dla którego suma odległości od trzech wierzchołków trójkąta jest najmniejsza; opisuje go strona Twierdzenia Fermata.

Punkt w analizie matematycznej

Poza geometrią słowo „punkt” pojawia się w nazwach kilku pojęć analizy:

Punkt stały funkcji $f$ to punkt $x$ spełniający $f(x) = x$ - taki, którego funkcja nie rusza. O ich istnieniu mówi twierdzenie Banacha.

Punkt okresowy funkcji $f$ to punkt $x$ z dziedziny taki, że dla pewnej liczby naturalnej $n$ zachodzi $f^n(x) = x$, gdzie $f^n$ oznacza $n$-krotne złożenie funkcji ze sobą. Najmniejszą taką liczbę $n$ nazywa się okresem punktu. W 1964 roku ukraiński matematyk Ołeksandr Szarkowski udowodnił twierdzenie, z którego wynika m.in., że jeśli funkcja ciągła $f : \langle a, b \rangle \to \langle a, b \rangle$ ma punkt okresowy o okresie $3$, to ma punkty okresowe o każdym okresie naturalnym.

Punkt osobliwy (nieregularny) to element zbioru pozbawiony pewnej ważnej własności, którą ma większość punktów tego zbioru - najczęściej chodzi o różniczkowalność. Punkt osobliwy krzywej to taki, w którym nie jest określona styczna (ostrze, punkt rozgałęzienia). Analogicznie definiuje się punkty osobliwe powierzchni.

Najczęstsze pytania

Ile wymiarów ma punkt? Zero. Punkt nie ma długości, szerokości ani wysokości - wyznacza tylko położenie.

Dlaczego punktu się nie definiuje? Bo jest pojęciem pierwotnym. Każda definicja musiałaby odwołać się do czegoś prostszego, a przy punkcie nie ma już nic prostszego - opisują go dopiero aksjomaty geometrii.

Jak oznacza się punkty? Wielkimi literami: $A$, $B$, $C$, $P$, $S$. We współrzędnych - parą (lub trójką) liczb w nawiasie, np. $A = (3, -2)$.

Jak obliczyć odległość dwóch punktów? Ze wzoru $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, który jest zapisem twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych.

Ile punktów wyznacza prostą? Dwa różne punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą. Trzy punkty niewspółliniowe wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Czym różni się punkt od zera? Punkt to obiekt geometryczny (położenie), a zero - liczba. Punkt $O = (0,0)$ jest początkiem układu współrzędnych, ale sam punkt nie jest liczbą.

Podsumowanie

• Punkt jest pojęciem pierwotnym geometrii - nie definiujemy go, opisują go aksjomaty.
• Jest figurą zerowymiarową: wyznacza położenie, nie ma żadnego rozmiaru.
• Oznaczamy go wielką literą, a we współrzędnych parą liczb $(x, y)$, w której kolejność ma znaczenie.
• Odległość punktów liczymy ze wzoru Pitagorasa, a środek odcinka - jako średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
• Dwa różne punkty wyznaczają prostą, trzy niewspółliniowe - płaszczyznę.
• Poza geometrią „punkt” występuje w nazwach pojęć analizy: punkt stały, okresowy i osobliwy.