Liczba zero - dodatnia czy ujemna? Własności i działania

Liczba zero ($0$) to liczba, która dodana do dowolnej liczby $a$ nie zmienia jej: $a + 0 = a$. Dlatego nazywa się ją elementem neutralnym dodawania. W teorii zbiorów zero to liczba elementów zbioru pustego. Na osi liczbowej zero oddziela liczby dodatnie od ujemnych.

Czy zero jest dodatnie czy ujemne?

Ani jedno, ani drugie. Liczba dodatnia to liczba większa od zera, a ujemna - mniejsza od zera. Zero nie jest większe od siebie samego ani mniejsze od siebie, więc nie spełnia żadnego z tych warunków. Zero jest jedyną liczbą rzeczywistą, która nie ma znaku.

Gdy chcemy objąć zero razem z liczbami dodatnimi, mówimy o liczbach nieujemnych ($a \geq 0$), a razem z ujemnymi - o niedodatnich ($a \leq 0$). Zero jest jedyną liczbą, która jest jednocześnie nieujemna i niedodatnia. Więcej o tych pojęciach: liczby dodatnie.

Z tego samego powodu $-0 = 0$: liczba przeciwna do zera to znowu zero, a wartość bezwzględna zera wynosi $|0| = 0$.

Do jakich zbiorów liczb należy zero

Spór o to, czy zero jest liczbą naturalną, to kwestia umowy, a nie faktu matematycznego. Polska podstawa programowa włącza zero do $\mathbb{N}$, a liczby naturalne bez zera oznacza $\mathbb{N}_+$. W wielu podręcznikach zagranicznych jest odwrotnie, więc zawsze warto sprawdzić, jaką konwencję przyjął autor.

Działania z zerem

Ważna własność iloczynu: jeśli $a \cdot b = 0$, to $a = 0$ lub $b = 0$. Na tym opiera się rozwiązywanie równań w postaci iloczynowej, np. $(x - 2)(x + 5) = 0$ daje $x = 2$ lub $x = -5$.

Dlaczego nie wolno dzielić przez zero

Dzielenie to działanie odwrotne do mnożenia: $a : b = x$ znaczy tyle, co $b \cdot x = a$. Gdyby $a : 0 = x$, musiałoby zachodzić $0 \cdot x = a$.

• Dla $a \neq 0$ takiej liczby $x$ nie ma, bo iloczyn z zerem zawsze daje $0$, a nie $a$.
• Dla $a = 0$ warunek $0 \cdot x = 0$ spełnia każda liczba $x$, więc wynik nie byłby jednoznaczny.

W obu przypadkach działania nie da się sensownie określić. Dzielenie przez zero nie jest „równe nieskończoności” - jest po prostu niewykonalne. Więcej: dzielenie. Z tego powodu w każdym ułamku z niewiadomą w mianowniku wyznaczamy najpierw dziedzinę - wykluczamy wartości, dla których mianownik jest zerem.

Zero: cyfra czy liczba?

Jedno i drugie. Jako cyfra zero zaznacza puste miejsce w zapisie pozycyjnym: w liczbie $305$ mówi, że nie ma dziesiątek. Bez niego $305$ i $35$ wyglądałyby tak samo. Jako liczba zero oznacza wielkość - „nic” - i można na nim wykonywać działania.

Historycznie te dwie role pojawiły się w różnym czasie. Najpierw było zero-cyfra, znak pustego miejsca, a dopiero po stuleciach zero-liczba.

Skąd się wzięło zero

• Babilończycy w ostatnich wiekach p.n.e. zaznaczali puste miejsce w zapisie liczb osobnym znakiem, ale nie traktowali go jak liczby. Niezależnie znak zera stosowali Majowie.
• Indie, 628 rok: Brahmagupta w dziele Brahmasphutasiddhanta podał reguły rachunku z zerem jako z liczbą - że $a + 0 = a$ i $a \cdot 0 = 0$. Pomylił się tylko przy dzieleniu: uznał, że $0 : 0 = 0$.
• Europa, 1202 rok: Leonardo z Pizy (Fibonacci) w Liber abaci spopularyzował cyfry indyjsko-arabskie razem z zerem.
• Pełne równouprawnienie zera z innymi liczbami przyszło dopiero w XVI-XVII wieku, razem z oznaczeniami literowymi i regułami rachunku na liczbach ujemnych.

Ciekawostka językowa: słowa „zero” i „cyfra” mają ten sam źródłosłów - arabskie sifr, czyli „pusty”. Przez łacińskie zephirum i włoskie zefiro powstało „zero”, a z łacińskiego cifra - „cyfra”.

Więcej o historii systemów liczbowych: układy addytywne i pozycyjne.

Najczęstsze pytania

Czy zero jest dodatnie? Nie. Liczby dodatnie są większe od zera, a zero nie jest większe od siebie samego. Zero nie jest też ujemne - to jedyna liczba bez znaku.

Czy zero jest liczbą naturalną? W polskiej szkole tak: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$. To umowa - część autorów, zwłaszcza zagranicznych, zaczyna liczby naturalne od $1$.

Czy zero jest liczbą parzystą? Tak. Liczba parzysta to taka, która dzieli się przez $2$ bez reszty, a $0 : 2 = 0$. Na osi liczbowej zero leży między nieparzystymi $-1$ i $1$, tak jak każda liczba parzysta.

Ile to jest 0 razy 5?$0 \cdot 5 = 0$. Iloczyn dowolnej liczby i zera zawsze wynosi zero.

Ile to jest 0 podzielić przez 5?$0 : 5 = 0$, bo $5 \cdot 0 = 0$. Odwrotnie nie wolno: $5 : 0$ jest niewykonalne.

Ile to jest zero do potęgi zero? W szkole $0^0$ nie ma wartości - to wyrażenie nieokreślone. W kombinatoryce i algebrze często przyjmuje się umownie $0^0 = 1$, bo upraszcza to wzory (np. dwumian Newtona).

Czy był rok zero? Nie. W kalendarzu po roku 1 p.n.e. następuje od razu rok 1 n.e. Dlatego XXI wiek zaczął się 1 stycznia 2001 roku, a nie 2000.

Podsumowanie

Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ale jest liczbą całkowitą, wymierną, rzeczywistą i parzystą, a w polskiej szkole także naturalną. Dodane do liczby nie zmienia jej, pomnożone przez liczbę daje zero, a przez zero nie wolno dzielić. Jako cyfra zero zaznacza puste miejsce w zapisie pozycyjnym - od tego zaczęła się jego historia.

Zobacz też: zbiory liczbowe, liczby całkowite, liczby dodatnie.