Dzielenie - dzielna, dzielnik, iloraz

Dzielenie to działanie arytmetyczne, które dwóm liczbom $a$ i $b$, z których druga jest różna od zera, przyporządkowuje liczbę $c$ taką, że $b \cdot c = a$. Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia: pozwala znaleźć drugi czynnik, gdy dany jest iloczyn i jeden z czynników. Podzielić liczbę $a$ przez liczbę $b$ oznacza znaleźć taką liczbę $x$, że $a = b \cdot x$.

Wynik dzielenia nazywa się ilorazem, liczbę $a$ - dzielną, a liczbę $b$ - dzielnikiem. Dzielenie liczby $a$ przez $b$ zapisujemy jako $a : b$ albo kreską ułamkową $\frac{a}{b}$. Na przykład $12 : 4 = 3$, bo $4 \cdot 3 = 12$. Oznaczenie dzielenia dwukropkiem wprowadził w 1684 roku niemiecki filozof i matematyk G. W. Leibniz.

Mówi się, że dzielenie jest wykonalne (określone) w danym zbiorze $U$, jeśli iloraz dwóch dowolnych liczb ze zbioru $U$, z których druga jest różna od zera, także należy do $U$. Dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych różnych od zera, bo na przykład $15 : 6 = 2{,}5$, a ta liczba nie jest całkowita. Jest natomiast wykonalne w zbiorze liczb wymiernych różnych od zera.

Dlaczego nie wolno dzielić przez zero

Iloraz $a : 0$ musiałby być taką liczbą $x$, że $0 \cdot x = a$. Dla $a \neq 0$ takiej liczby nie ma, bo iloczyn z zerem zawsze daje zero. Dla $a = 0$ warunek spełnia z kolei każde$x$, więc wynik nie byłby jednoznaczny. W obu przypadkach działanie nie daje się określić - dlatego dzielenie przez zero pozostaje niewykonalne, a nie „równe nieskończoności”.

Dzielenie z resztą

Gdy dzielna nie dzieli się przez dzielnik bez reszty, dla liczb całkowitych $a$ i $b > 0$ istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych $q$ (iloraz) i $r$ (reszta) taka, że

$$a = b \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < b.$$

Na przykład $17 = 5 \cdot 3 + 2$, czyli $17 : 5$ daje iloraz $3$ i resztę $2$. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika - gdyby była równa lub większa, iloraz dałoby się jeszcze powiększyć.