Ciąg monotoniczny - rosnący, malejący, stały

Ciąg monotoniczny to ciąg liczb rzeczywistych spełniający jeden z czterech warunków:

1. a_n+1>a_n, dla każdego n∈N - ciąg rosnący (ciąg silnie rosnący lub ściśle rosnący);

2. a_n+1<a_n, dla każdego n∈N - ciąg malejący (ciąg silnie malejący lub ściśle malejący);

3. a_n+1≥a_n, dla każdego n∈N - ciąg niemalejący (lub ciąg słabo rosnący);

4. a_n+1≤a_n, dla każdego n∈N - ciąg nierosnący (lub ciąg słabo malejący).

Ciąg spełniający warunek 1 lub 2 nazywa się też ciągiem silnie monotonicznym lub ściśle monotonicznym.

Jak zbadać monotoniczność ciągu

Najczęściej badamy znak różnicy kolejnych wyrazów $a_{n+1} - a_n$:

• $a_{n+1} - a_n > 0$ dla każdego $n$ - ciąg jest rosnący,
• $a_{n+1} - a_n < 0$ - ciąg malejący,
• $a_{n+1} - a_n = 0$ - ciąg stały.

Dla ciągów o wyrazach dodatnich można też porównać iloraz $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$ z jedynką.

Przykłady

• Ciąg $a_n = 2n+1$ (czyli $3, 5, 7, \ldots$) jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n = 2 > 0$.
• Ciąg $a_n = \tfrac{1}{n}$ (czyli $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \ldots$) jest malejący.
• Ciąg stały $a_n = 5$ jest jednocześnie nierosnący i niemalejący.