matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator funkcji kwadratowej i delty

Kalkulator funkcji kwadratowej z współczynników a, b, c wzoru f(x) = ax² + bx + c oblicza deltę, miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, postać kanoniczną i iloczynową, zbiór wartości, przedziały monotoniczności i znak funkcji - a każdy wynik rozpisuje krok po kroku, w wartościach dokładnych: ułamkach i uproszczonych pierwiastkach (√12 = 2√3, x = 2 ± √3), z przybliżeniem obok. Rysuje też parabolę. Metody są te same co w lekcjach działu funkcja kwadratowa, więc wynik zgadza się z tym, czego wymaga szkoła i matura.

f(x) = ax² + bx + c

Liczby całkowite (−3), dziesiętne z przecinkiem albo kropką (2,5) i ułamki zwykłe (−3/4). Współczynnik a nie może być zerem.

Przykłady z lekcji:

Wyniki dla f(x) = x² + 2x − 3

WłasnośćWynik
Postać ogólnaf(x) = x² + 2x − 3
Wyróżnik ΔΔ = 16, √Δ = 4
Miejsca zerowex₁ = −3
x₂ = 1
Wierzchołek WW = (−1, −4)
Postać kanonicznaf(x) = (x + 1)² − 4
Postać iloczynowaf(x) = (x + 3)(x − 1)
Oś symetriix = −1
Zbiór wartościZW = ⟨−4; +∞)
Monotonicznośćmaleje w (−∞; −1⟩,
rośnie w ⟨−1; +∞)
Przecięcie z osią OY(0, −3)
f(x) > 0x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)
f(x) < 0x ∈ (−3; 1)
Wzory Viète'ax₁ + x₂ = −2, x₁ · x₂ = −3
−4−3−2−112−6−4−2240xyW(−1, −4)x₁x₂(0, −3)x = −1
Wykres f(x) = x² + 2x − 3. Pełne kropki: wierzchołek i miejsca zerowe, pusta: przecięcie z osią OY (mała - jego odbicie względem osi symetrii). Linia przerywana: oś symetrii.

Rozwiązanie krok po kroku

Współczynniki a, b, c

a = 1, b = 2, c = −3

  1. Odczytujemy współczynniki z postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c = x² + 2x − 3: a = 1, b = 2, c = −3.
  2. a = 1 > 0, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.

Wyróżnik Δ (delta)

Δ = 16, √Δ = 4

  1. Wyróżnik (deltę) liczymy ze wzoru Δ = b² − 4ac.
  2. Δ = 2² − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16
  3. Δ = 16 > 0, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe - parabola przecina oś OX w dwóch punktach.
  4. √Δ = √16 = 4

Miejsca zerowe (rozwiązania równania f(x) = 0)

x₁ = −3, x₂ = 1

  1. Wzory na pierwiastki: x₁ = (−b − √Δ)/(2a), x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
  2. x₁ = (−2 − 4)/(2 · 1) = (−2 − 4)/2 = −6/2 = −3
  3. x₂ = (−2 + 4)/(2 · 1) = (−2 + 4)/2 = 2/2 = 1
  4. Odpowiedź: równanie x² + 2x − 3 = 0 ma dwa rozwiązania: x = −3 lub x = 1.

Wierzchołek paraboli i oś symetrii

W = (−1, −4), oś x = −1

  1. Wierzchołek paraboli W = (p, q), gdzie p = −b/(2a) oraz q = −Δ/(4a).
  2. p = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1
  3. q = −16/(4 · 1) = −16/4 = −4
  4. Sprawdzenie bez delty: q = f(p) = 1 · (−1)² + 2 · (−1) + (−3) = 1 − 2 − 3 = −4
  5. Wierzchołek: W = (−1, −4). Oś symetrii paraboli to prosta x = −1.

Postać kanoniczna i iloczynowa

f(x) = (x + 1)² − 4; f(x) = (x + 3)(x − 1)

  1. Postać ogólna: f(x) = x² + 2x − 3.
  2. Postać kanoniczna f(x) = a(x − p)² + q - wstawiamy a = 1, p = −1, q = −4: f(x) = (x + 1)² − 4.
  3. Sprawdzenie - wymnażamy postać kanoniczną: (x + 1)² − 4 = (x² + 2x + 1) − 4 = x² + 2x − 3.
  4. Postać iloczynowa f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) - wstawiamy miejsca zerowe −3 i 1: f(x) = (x + 3)(x − 1).

Zbiór wartości, monotoniczność, przecięcie z osią OY

ZW = ⟨−4; +∞); OY: (0, −3)

  1. Dziedzina: ℝ - funkcja kwadratowa jest określona dla każdej liczby rzeczywistej.
  2. Zbiór wartości: ramiona w górę, więc ZW = ⟨−4; +∞) - od wartości w wierzchołku w górę.
  3. Monotoniczność: funkcja maleje w przedziale (−∞; −1⟩ i rośnie w przedziale ⟨−1; +∞) - zmienia się w wierzchołku.
  4. Wartość najmniejsza: −4 dla x = −1; wartości największej nie ma.
  5. Przecięcie z osią OY: f(0) = c = −3, czyli punkt (0, −3).
  6. Z symetrii względem osi x = −1 wykres przechodzi też przez punkt (−2, −3) (odcięta 2p − 0 = −2).

Znak funkcji - nierówności kwadratowe

f(x) > 0: x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞); f(x) < 0: x ∈ (−3; 1)

  1. Ramiona paraboli idą w górę (a > 0).
  2. Parabola przecina oś OX w punktach −3 i 1. Nad osią jest poza nimi, pod osią - między nimi.
  3. f(x) > 0 (nierówność x² + 2x − 3 > 0): x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)
  4. f(x) < 0 (nierówność x² + 2x − 3 < 0): x ∈ (−3; 1)
  5. f(x) ≥ 0: x ∈ (−∞; −3⟩ ∪ ⟨1; +∞); f(x) ≤ 0: x ∈ ⟨−3; 1⟩
  6. Przy nierówności nieostrej (≥, ≤) miejsca zerowe należą do rozwiązania - przedziały są domknięte; przy ostrej (>, <) - otwarte. Przy nieskończoności nawias zawsze jest okrągły.

Wzory Viète'a

x₁ + x₂ = −2, x₁ · x₂ = −3

  1. Gdy Δ ≥ 0: x₁ + x₂ = −b/a oraz x₁ · x₂ = c/a.
  2. x₁ + x₂ = −2/1 = −2, x₁ · x₂ = −3/1 = −3
  3. Sprawdzenie na pierwiastkach: (−3) + 1 = −2, (−3) · 1 = −3.
  4. Z tych wzorów: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (−2)² − 2 · (−3) = 10.
  5. 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = −2/(−3) = 2/3.

Wzory, z których korzysta kalkulator

Funkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

Wyróżnik (delta):

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Miejsca zerowe (gdy Δ>0\Delta > 0):

x1=−b−Δ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
x2=−b+Δ2ax_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Δ=0:x0=−b2a\Delta = 0: \quad x_0 = \frac{-b}{2a}

Wierzchołek paraboli W=(p,q)W = (p, q) i oś symetrii x=px = p:

p=−b2a,q=−Δ4ap = \frac{-b}{2a}, \qquad q = \frac{-\Delta}{4a}

Postać kanoniczna i iloczynowa (gdy Δ≥0\Delta \ge 0):

f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x - p)^2 + q
f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

Wzory Viète'a (gdy Δ≥0\Delta \ge 0):

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Co mówi delta

Delta (wyróżnik) Δ = b² − 4ac z góry mówi, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa, czyli ile rozwiązań ma równanie ax² + bx + c = 0:

DeltaMiejsca zerowePostać iloczynowaPrzykład
Δ > 0dwa: x₁ i x₂a(x − x₁)(x − x₂)x² − 2x − 3: Δ = 16, x = −1 lub 3
Δ = 0jedno (podwójne): x₀a(x − x₀)²x² − 2x + 1: Δ = 0, x = 1
Δ < 0braknie istniejex² − 2x + 3: Δ = −8

Gdy delta nie jest kwadratem liczby całkowitej, wynik zostaje z pierwiastkiem. Kalkulator upraszcza go tak, jak w zeszycie: dla x² − 4x + 1 mamy Δ = 12, √12 = √(4 · 3) = 2√3 i po skróceniu ułamka x = 2 ± √3. Więcej przykładów w lekcjach miejsca zerowe i postać iloczynowa oraz równania kwadratowe.

Wierzchołek i postać kanoniczna

Wierzchołek paraboli W = (p, q) to jej najniższy punkt, gdy ramiona idą w górę (a > 0), albo najwyższy, gdy idą w dół. Pierwsza współrzędna p = −b/(2a) wyznacza oś symetrii x = p, druga q = −Δ/(4a) to wartość najmniejsza albo największa funkcji, a zarazem koniec zbioru wartości. Te same liczby tworzą postać kanoniczną f(x) = a(x − p)² + q: dla −2x² + 4x + 1 wierzchołek to (1, 3), a postać kanoniczna −2(x − 1)² + 3. Kalkulator działa też w drugą stronę - w trybie „postać kanoniczna” wpisz a, p, q (przykład 3(x + 1)² − 5). Wyprowadzenie wzorów jest w lekcji postać ogólna i kanoniczna.

Nierówności kwadratowe w kalkulatorze

Sekcja „znak funkcji” od razu rozwiązuje cztery nierówności: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0 i f(x) ≤ 0. Żeby rozwiązać nierówność, przenieś wszystko na jedną stronę (zero po prawej), wpisz współczynniki lewej strony i odczytaj wiersz z właściwym znakiem. Na przykład x² + 2x − 8 ≤ 0 ma rozwiązanie x ∈ ⟨−4; 2⟩, a −x² + 4x − 3 > 0 - x ∈ (1; 3). Metodę ze szkicem paraboli omawia lekcja nierówności kwadratowe.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć deltę?

Deltę (wyróżnik) liczy się ze wzoru Δ = b² − 4ac, gdzie a, b, c to współczynniki funkcji f(x) = ax² + bx + c. Dla x² − 2x − 3 mamy a = 1, b = −2, c = −3, więc Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16. Ujemne b zawsze bierz w nawias, bo (−2)² = 4, a nie −4.

Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?

Najpierw oblicz deltę. Gdy Δ > 0, miejsca zerowe to x₁ = (−b − √Δ)/(2a) i x₂ = (−b + √Δ)/(2a); gdy Δ = 0, jest jedno: x₀ = −b/(2a); gdy Δ < 0, miejsc zerowych nie ma. Dla x² − 2x − 3: Δ = 16, √Δ = 4, x₁ = (2 − 4)/2 = −1, x₂ = (2 + 4)/2 = 3.

Co oznacza ujemna delta?

Że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych: równanie ax² + bx + c = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych, a parabola w całości leży nad osią OX (gdy a > 0) albo pod nią (gdy a < 0). Postaci iloczynowej wtedy nie ma, ale wierzchołek i postać kanoniczna istnieją zawsze.

Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

Wierzchołek to W = (p, q), gdzie p = −b/(2a) i q = −Δ/(4a). Drugą współrzędną szybciej policzysz, podstawiając p do wzoru: q = f(p). Dla x² − 4x + 1: p = 4/2 = 2, q = f(2) = 4 − 8 + 1 = −3, więc W = (2, −3).

Jak zamienić postać ogólną na kanoniczną?

Oblicz współrzędne wierzchołka p i q, a potem wstaw je do wzoru f(x) = a(x − p)² + q, zachowując współczynnik a. Dla f(x) = −2x² + 4x + 1: p = 1, q = 3, więc postać kanoniczna to f(x) = −2(x − 1)² + 3.

Jak zapisać postać iloczynową funkcji kwadratowej?

Gdy Δ > 0: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), gdy Δ = 0: f(x) = a(x − x₀)². Nie zapominaj o współczynniku a: dla 2x² − 4x − 6 miejsca zerowe to −1 i 3, a postać iloczynowa to 2(x + 1)(x − 3). Gdy Δ < 0, postać iloczynowa nie istnieje.

Co zrobić, gdy delta nie jest kwadratem liczby całkowitej?

Zostaw pierwiastek w wyniku i go uprość: wyłącz przed pierwiastek największy kwadrat, a potem skróć ułamek. Dla x² − 4x + 1: Δ = 12, √12 = 2√3, x = (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. To wynik dokładny; przybliżenia (0,27 i 3,73) podaje się tylko, gdy zadanie o nie prosi.

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Uporządkuj nierówność do postaci ax² + bx + c > 0 (albo <, ≥, ≤), wyznacz miejsca zerowe i naszkicuj parabolę. Przy ramionach w górę wartości dodatnie są poza miejscami zerowymi, ujemne - między nimi. Dla x² + 2x − 8 ≤ 0 miejsca zerowe to −4 i 2, więc x ∈ ⟨−4; 2⟩.

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/funkcja-kwadratowa/kalkulator-funkcji-kwadratowej · matematyka.net