matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator statystyczny: średnia, mediana, odchylenie standardowe

Kalkulator statystyczny oblicza z wpisanych liczb średnią arytmetyczną, medianę, modę (dominantę), rozstęp, kwartyle, wariancję i odchylenie standardowe - i każdą z tych miar rozpisuje krok po kroku, tak jak liczy się ją w zeszycie. Dane wpisujesz jako listę liczb albo jako tabelę liczebności; wyniki przeliczają się na bieżąco. Metody są te same co w lekcjach działu elementy statystyki, więc wynik zgadza się z tym, czego wymaga szkoła i matura.

Liczby oddzielaj spacją, średnikiem albo enterem. Przecinek dziesiętny jak w zeszycie: 3,5. Liczby ujemne z minusem: -2.

Przykłady z lekcji:
MiaraWynik
Liczebność n8
Suma danych112
Średnia arytmetyczna x̄14
Mediana Me14,5
Mody (dominanty)15; 18
Najmniejsza i największa9 i 18
Rozstęp R9
Kwartyle Q₁ i Q₃11,5 i 16,5
Rozstęp międzykwartylowy5
Wariancja σ²9
Odchylenie standardowe σ3
Odchylenie z próby s (n − 1)≈ 3,2071
81012141618Q₁x̄MeQ₃
Dane na osi liczbowej. Linie przerywane: Q₁, mediana i Q₃; trójkąt pod osią: średnia x̄.
01291112141518wartość - wysokość słupka to liczebność
Diagram słupkowy liczebności - ile razy wystąpiła każda wartość.

Rozwiązanie krok po kroku

Liczebność i suma danych

n = 8, suma = 112

  1. Liczymy wpisane dane: n = 8.
  2. Dodajemy wszystkie dane: 12 + 15 + 9 + 18 + 15 + 11 + 14 + 18 = 112.

Średnia arytmetyczna

x̄ = 14

  1. Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n.
  2. x̄ = 112 / 8 = 14

Dane uporządkowane

9; 11; 12; 14; 15; 15; 18; 18

  1. Ustawiamy dane od najmniejszej do największej: 9; 11; 12; 14; 15; 15; 18; 18.
  2. Najmniejsza dana: 9, największa: 18.

Mediana

Me = 14,5

  1. Danych jest n = 8 - liczba parzysta, więc mediana to średnia dwóch środkowych danych: nr n/2 = 4 i nr n/2 + 1 = 5.
  2. W danych uporządkowanych x₄ = 14 oraz x₅ = 15.
  3. Me = (14 + 15) / 2 = 14,5
  4. Uwaga: medianę bierzemy z danych UPORZĄDKOWANYCH, nie z kolejności wpisania.

Moda (dominanta)

mody: 15; 18

  1. Liczymy, ile razy występuje każda wartość: 9 - 1×, 11 - 1×, 12 - 1×, 14 - 1×, 15 - 2×, 18 - 2×.
  2. Najczęściej, po 2×, występują 15, 18 - dane mają 2 mody (są wielomodalne).
  3. Moda to wartość danej, a nie liczba jej wystąpień.

Rozstęp

R = 9

  1. Rozstęp to różnica największej i najmniejszej danej.
  2. R = 18 − 9 = 9

Kwartyle Q₁ i Q₃

Q₁ = 11,5, Q₃ = 16,5

  1. Kwartyle liczymy jak centyle: p = k/100 · n; gdy p nie jest całkowite, bierzemy daną na miejscu p zaokrąglonym w górę, a gdy jest - średnią danych nr p i p + 1.
  2. Q₁ (25. centyl): p = 0,25 · 8 = 2 - liczba całkowita, więc bierzemy średnią danych nr 2 i 3: (11 + 12) / 2 = 11,5.
  3. Q₃ (75. centyl): p = 0,75 · 8 = 6 - liczba całkowita, więc bierzemy średnią danych nr 6 i 7: (15 + 18) / 2 = 16,5.
  4. Rozstęp międzykwartylowy: Q₃ − Q₁ = 16,5 − 11,5 = 5 - w tym przedziale leży środkowa połowa danych.
  5. Arkusze kalkulacyjne (np. funkcja KWARTYL w Excelu) używają innej reguły i przy małej liczbie danych mogą dać trochę inny wynik.

Wariancja i odchylenie standardowe

σ² = 9, σ = 3

  1. Średnia (z kroku wyżej): x̄ = 14.
  2. Suma kwadratów odchyleń od średniej: (12 − 14)² + (15 − 14)² + (9 − 14)² + (18 − 14)² + … + (18 − 14)² = 4 + 1 + 25 + 16 + 1 + 9 + 0 + 16 = 72.
  3. Wariancja to średnia tych kwadratów: σ² = 72 / 8 = 9.
  4. Sprawdzenie wzorem skróconym σ² = (średnia kwadratów) − x̄²: średnia kwadratów danych = 205, więc σ² = 205 − 14² = 9.
  5. Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji: σ = √9 = 3.
  6. Interpretacja: typowa odległość danej od średniej to około 3. W przedziale x̄ ± σ, czyli od 11 do 17, leży 5 z 8 danych.

Odchylenie z próby s (dzielenie przez n − 1)

s ≈ 3,2071

  1. W szkole i na maturze dzielimy przez n (wynik wyżej). Kalkulatory naukowe i Excel (ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI) podają też s - z dzieleniem przez n − 1; służy ono do szacowania rozrzutu całej populacji na podstawie próby i jest nieco większe.
  2. s² = 72 / (8 − 1) ≈ 10,2857
  3. s = √10,2857 ≈ 3,2071

Wzory, z których korzysta kalkulator

Miary statystyczne - wzory

Średnia arytmetyczna:

xˉ=x1+x2+…+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}

Mediana danych uporządkowanych x1≤x2≤…≤xnx_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n:

n nieparzyste:Me=xn+12n \text{ nieparzyste:} \quad \text{Me} = x_{\frac{n+1}{2}}
n parzyste:Me=xn2+xn2+12n \text{ parzyste:} \quad \text{Me} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}

Kwartyle: p=k100⋅np = \frac{k}{100} \cdot n (dla Q1Q_1 jest k=25k = 25, dla Q3Q_3 - k=75k = 75). Gdy pp nie jest całkowite, bierzemy daną na miejscu pp zaokrąglonym w górę; gdy jest - średnią danych nr pp i p+1p + 1.

Wariancja i odchylenie standardowe:

σ2=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2n\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}
σ2=x2‾−xˉ2,σ=σ2\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

Odchylenie z próby (kalkulatory naukowe, Excel):

s=(x1−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n - 1}}

Jak obliczyć średnią, medianę i modę

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę. Mediana to wartość środkowa danych uporządkowanych rosnąco - przy parzystej liczbie danych średnia dwóch środkowych. Moda (dominanta) to wartość, która występuje najczęściej; może być ich kilka albo żadnej. Dla wyników kartkówki 12, 15, 9, 18, 15, 11, 14, 18 średnia wynosi 14, mediana 14,5, a mody to 15 i 18 - kalkulator pokazuje ten przykład od razu po otwarciu strony.

Mediana lepiej niż średnia opisuje dane z wartościami odstającymi: pensje 3200, 3500, 3500, 3800, 4100, 4600 i 12 000 zł mają średnią około 4957 zł, ale medianę 3800 zł (zobacz w kalkulatorze). Więcej przykładów jest w lekcjach średnia z próby oraz mediana, moda i kwartyle.

Jak obliczyć odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe σ to typowa odległość danej od średniej - pierwiastek z wariancji, czyli ze średniej kwadratów odchyleń od średniej. Przykład dla danych 4, 7, 8, 9, 12 (średnia 8):

Dana xᵢ478912suma
Odchylenie xᵢ − x̄−4−10140
Kwadrat (xᵢ − x̄)²161011634

Wariancja σ² = 34 / 5 = 6,8, a odchylenie standardowe σ = √6,8 ≈ 2,61 (ten przykład w kalkulatorze). Gdy średnia nie jest liczbą całkowitą, wygodniej liczyć wzorem skróconym: średnia kwadratów minus kwadrat średniej - kalkulator pokazuje obie drogi. Pełne omówienie z interpretacją: lekcja wariancja i odchylenie standardowe.

Odchylenie z dzieleniem przez n czy przez n − 1?

W szkole, w podręcznikach i na maturze wariancję z danych liczy się, dzieląc przez n (σ, odchylenie populacyjne). Kalkulatory naukowe i arkusze kalkulacyjne mają też drugą wersję, s - z dzieleniem przez n − 1, używaną do szacowania rozrzutu całej populacji na podstawie próby. W Excelu to odpowiednio ODCH.STANDARD.POPUL i ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI. Dla danych 4, 7, 8, 9, 12 wychodzi σ ≈ 2,61, ale s ≈ 2,92. Kalkulator podaje obie wartości, a za wynik szkolny przyjmuje σ.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć odchylenie standardowe?

Oblicz średnią, odejmij ją od każdej danej i podnieś różnice do kwadratu. Średnia tych kwadratów to wariancja, a jej pierwiastek - odchylenie standardowe. Dla 4, 7, 8, 9, 12: średnia 8, kwadraty odchyleń 16, 1, 0, 1, 16, wariancja 34/5 = 6,8, odchylenie √6,8 ≈ 2,61.

Jak obliczyć medianę?

Uporządkuj dane rosnąco. Przy nieparzystej liczbie danych mediana to liczba środkowa, przy parzystej - średnia dwóch środkowych. Dla 9, 11, 12, 14, 15, 15, 18, 18 środkowe są 14 i 15, więc mediana wynosi 14,5.

Jak obliczyć średnią arytmetyczną?

Dodaj wszystkie liczby i podziel sumę przez ich liczbę. Średnia z 12, 15, 9, 18, 15, 11, 14, 18 to 112 / 8 = 14. Gdy dane są w tabeli liczebności, każdą wartość mnożysz przez jej liczebność i dzielisz przez liczbę wszystkich danych, a nie przez liczbę kolumn.

Jak obliczyć wariancję?

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej: σ² = ((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n. Szybciej wzorem skróconym: średnia kwadratów danych minus kwadrat średniej. Dla 2, 3, 5, 6, 9: średnia kwadratów 31, kwadrat średniej 25, wariancja 6.

Dlaczego Excel albo kalkulator daje inne odchylenie standardowe?

Bo dzieli sumę kwadratów odchyleń przez n − 1, a nie przez n. To odchylenie z próby s (w Excelu ODCH.STANDARDOWE.PRÓBKI), które szacuje rozrzut całej populacji i jest trochę większe. W szkole i na maturze dzieli się przez n - to odpowiada funkcji ODCH.STANDARD.POPUL. Kalkulator podaje obie wartości.

Co to jest dominanta, gdy dwie liczby występują tyle samo razy?

Wtedy są dwie dominanty (mody), np. w danych 1, 1, 2, 2, 3 modami są 1 i 2. Gdy wszystkie wartości występują tyle samo razy, mody nie ma.

Jak obliczyć kwartyle?

Uporządkuj dane i oblicz p = 0,25 · n dla Q₁ oraz p = 0,75 · n dla Q₃. Gdy p nie jest liczbą całkowitą, kwartyl to dana na miejscu p zaokrąglonym w górę; gdy jest - średnia danych na miejscach p i p + 1. Dla 20 danych Q₁ to średnia 5. i 6. danej.

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/statystyka/kalkulator-statystyczny · matematyka.net