Pochodne i całki - wzory w jednej tabeli

Ta strona zestawia pochodne i całki w jednej tabeli: w każdym wierszu funkcja, jej pochodna i całka obok siebie - wygodne do powtórki, bo widać, że całkowanie to działanie odwrotne do różniczkowania. Osobne, uporządkowane zestawienia z przykładami: tablica pochodnych oraz tablica całek.

Pochodna funkcji to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej, mające liczne zastosowania w innych działach matematyki, w naukach przyrodniczych i technicznych.

Pochodna	Funkcja	Całka
f'(x)	f(x)	$\int f(x)$
0	1	x
1	x	$\frac{1}{2}x^2$
nx^n-1	xⁿ	$\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}=\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}$	$\frac{2}{3}\sqrt{x^3}$
cos x	sin x	-cos x
-sin x	cos x	sin x
$\frac{1}{\cos^2 x}$	tg x	-ln \|cos x\|
$-\frac{1}{\sin^2 x}$	ctg x	ln \|sin x\|
$\leftarrow$	$\frac{1}{1+x^2}$	arc tg x
$\leftarrow$	$-\frac{1}{1+x^2}$	arc ctg x
$\leftarrow$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	arc sin x
$\leftarrow$	$\frac{1}{x^2+a^2}$	$\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}$
$\leftarrow$	$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin\frac{x}{a}$
$\leftarrow$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$	ln\|x+sqrt(x²-a²)\|
$\leftarrow$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	arc cos x
a^x ln a	a^x	$\frac{1}{\ln a}a^x=\frac{a^x}{\ln a}$
e^x	e^x	e^x
$\frac{1}{x}$	ln x	$\rightarrow$
$\leftarrow$	e^ax	$\frac{1}{a}e^{ax}=\frac{e^{ax}}{a}$
$\leftarrow$	$\frac{f'(x)}{f(x)}$	ln\|f(x)\|
$\leftarrow$	$\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$	$2\sqrt{f(x)}$

Zastosowanie całek
pole pod krzywą $\|P\|=\int_a^b f(x)\,dx$	długość krzywej $\|L\|=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$
objętość bryły $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$	powierzchnia bryły $Pb=2\pi\int_a^b\|f(x)\|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$
Wzory przydatne do całkowania
postać kanoniczna funkcji kwadratowej $y=a(x-p)^2+q,\ p=\frac{-b}{2a},\ q=\frac{-\Delta}{4a}$	wzory skróconego mnożenia (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
Zamiana całek trygonometrycznych na wymierne
$\int f(\sin x,\cos x)\,dx \xrightarrow{t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}} \int\frac{W(t)}{Q(t)}\,dt$
$\sin x=\frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}$	$dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt$