Ciąg arytmetyczny - wzory, różnica, suma

Ciąg arytmetyczny - najważniejsze wzory

$r = a_{n+1} - a_n \qquad a_n = a_1 + (n-1)\,r$

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)\,r}{2}\cdot n$

Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała - oznaczamy ją przez r i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

np. a_n= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 )
a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1
a₃ - a₂ = 3 - 2 = 1
a₄ - a₃ = 4 - 3 = 1
itd.

różnica r = 1
Ten ciąg jest arytmetyczny.

np. a_n = ( 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6 , 21, 15 )
a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1
a₃ - a₂ = 3 - 2 = 1
a₄ - a₃ = 4 - 3 = 1
a₅ - a₄ = 5 - 4 = 1
a₆ - a₅ = 7 - 5 = 2
itd.

różnica nie jest stała
Ten ciąg nie jest arytmetyczny.

Ciąg arytmetyczny jednoznacznie wyznaczają jego pierwszy wyraz - a₁ i różnica r

Najważniejsze wzory:

a_n+1 − a_n = r	różnica między dowolnym wyrazem, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym
a_n = a₁ + (n − 1) · r	wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
S_n = $\frac{a_1+a_n}{2}$ n	wzór na sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
S_n = $\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}$ n	inaczej zapisany powyższy wzór: w miejsce a_n wstawiam a_n = a₁ + (n − 1) · r

Przykłady:

Zad. 1
Czy ciąg a_n = n jest arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy różnica a_n+1 - a_n jest stałą liczbą.**
Utwórzmy tę różnicę: a_n = n a_n+1 - a_n = n + 1 - n = 1 a_n+1= n + 1
**Różnica wynosi 1, czyli ciąg a_n = n jest arytmetyczny.

Zad. 2
Czy ciąg b_n = n² + 1 jest arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy różnica b_n+1 - b_n jest stała.

Utwórzmy wyraz b_n+1 b_n+1 = (n + 1)² + 1 wstawiamy n +1 w miejsce n we wzorze n² + 1 Teraz tworzymy różnicę:
b_n+1 - b_n = (n + 1)² + 1 - (n² + 1) =
= (n + 1)² + 1 - n² - 1 =
= n² + 2n + 1 +1 - n² - 1 =
= 2n +1

redukujemy wyrazy podobne

Różnica nie jest liczbą stałą! Wyrażenie 2n +1 zależy od n, przyjmuje różne wartości w zależności od tego ile wynosi n.
Ciąg b_n = n² + 1 nie jest arytmetyczny.