Ciąg harmoniczny 1/n - własności i szereg harmoniczny

Ciąg harmoniczny to ciąg odwrotności kolejnych liczb naturalnych
$a_n = \frac{1}{n}$, gdzie $n > 0$

Początkowe wyrazy ciągu harmonicznego:

$1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{6}, \ldots$

Ciąg harmoniczny jest malejący, ponieważ każdy jego wyraz jest mniejszy od poprzedniego: a_n+1 < a_n.

Ciąg harmoniczny jest zbieżny do zera, ponieważ wraz ze wzrostem n jego wyrazy są dowolnie blisko zera.

Choć wyrazy ciągu dążą do zera, suma szeregu harmonicznego $1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \ldots$ jest nieskończona. Pokazał to już w XIV wieku Mikołaj z Oresme, grupując wyrazy: $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4} > \tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{5} + \ldots + \tfrac{1}{8} > \tfrac{1}{2}$ i tak dalej - dowolnie wiele „połówek” daje sumę większą od każdej liczby. Nazwa ciągu pochodzi stąd, że każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią harmoniczną wyrazów sąsiednich.