Liczba e - podstawa logarytmu naturalnego

Liczba e, Liczba Nepera, liczba będąca granicą ciągu liczbowego nieskończonego (1+1/n)ⁿ; 

e=lim n → ∞ (1+1/n)ⁿ

e=2,718281828…

Oznaczenie jej wprowadził w 1736 matematyk szwajcarski L. Euler, stałą tę odkrył w 1683 roku Jakub Bernoulli, badając procent składany. Liczba e jest liczbą niewymierną, a nawet przestępną (dowód przestępności liczby e podał w 1873 matematyk francuski Ch. Hermite). Liczba e jest również sumą szeregu e=Σ od n=0 do ∞ (1/n!). Ma ona duże zastosowanie w matematyce; jest podstawą logarytmu naturalnego ln x = log_ex, oraz podstawą funkcji wykładniczej e^x=lim n → ∞ (1+x/n)ⁿ. Własność funkcji f(x)=e^x z punktu widzenia różniczkowalności (tj. fakt, że (e^x)‘=e^x) ma duże znaczenie w teorii równań różniczkowych.

Wartość i własności liczby e

$e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \approx 2{,}718281828\ldots$

• Liczba $e$ jest niewymierna, a nawet przestępna (nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych).
• Jest podstawą logarytmu naturalnego: $\ln x = \log_e x$.
• Funkcja $f(x)=e^x$ ma wyjątkową własność: jest równa swojej pochodnej, $(e^x)' = e^x$, co czyni ją kluczową w analizie matematycznej i równaniach różniczkowych.