Funkcja wymierna - wzór, asymptoty, dziedzina

Funkcja wymierna to funkcja

$x\mapsto\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{0}}$

będąca ilorazem dwóch wielomianów g i h stopni odpowiednio n i m ($a_{n}\neq 0,\ b_{m}\neq 0)$.

Dziedzina i asymptoty

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych bez miejsc zerowych mianownika $h(x)$.

• Asymptoty pionowe wyznaczają miejsca zerowe mianownika, które nie są jednocześnie miejscami zerowymi licznika (po skróceniu ułamka). Jeśli czynnik się skraca, na wykresie zostaje tylko „dziura”, a nie asymptota.
• Asymptota pozioma zależy od stopni wielomianów: dla $n < m$ jest nią prosta $y = 0$, dla $n = m$ - prosta $y = \frac{a_n}{b_m}$, a dla $n = m + 1$ wykres ma asymptotę ukośną.

Przykłady

Przykład 1. $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Asymptota pionowa: $x = 3$. Stopnie licznika i mianownika są równe, więc asymptota pozioma to $y = \frac{2}{1} = 2$. Miejsce zerowe: $2x + 1 = 0$, czyli $x = -\frac{1}{2}$.

Przykład 2. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$. Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Po skróceniu $f(x) = x + 1$ dla $x \ne 1$ - wykresem jest prosta z usuniętym punktem $(1, 2)$, bez asymptoty pionowej.

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna $\frac{ax + b}{cx + d}$, której wykresem jest hiperbola.