Wykres funkcji logarytmicznej - jak go narysować, przesunięcia

Ta strona zajmuje się wykresem funkcji logarytmicznej: jak go narysować, jak zmienia się z podstawą i jak go przesuwać. Definicję, dziedzinę i własności krok po kroku omawia lekcja funkcja logarytmiczna - definicja, dziedzina i własności, a działania na logarytmach - prawa logarytmów i zamiana podstawy.

Jak narysować wykres funkcji logarytmicznej - krok po kroku

Weźmy $f(x) = \log_2 x$. Najwygodniej wybierać argumenty, które są potęgami podstawy - wtedy logarytm wychodzi całkowity:

$f\left(\tfrac{1}{4}\right) = -2, \quad f\left(\tfrac{1}{2}\right) = -1, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(8) = 3.$

1. Zaznacz asymptotę - oś $OY$ (prosta $x = 0$). Wykres zbliża się do niej od prawej, ale nigdy jej nie dotyka.
2. Nanieś punkty z tabeli. Punkt $(1, 0)$ jest wspólny dla wszystkich podstaw.
3. Połącz je gładką krzywą: przy osi $OY$ wykres ucieka stromo w dół (dla $a > 1$), a na prawo rośnie coraz wolniej - od $x = 4$ do $x = 8$ przybywa już tylko $1$.

Dla podstawy $\tfrac{1}{2}$ te same liczby wychodzą z przeciwnym znakiem, bo $\log_{1/2} x = -\log_2 x$. Wykres jest więc lustrzanym odbiciem względem osi $OX$:

Wykres a podstawa logarytmu

Od podstawy $a$ zależą dwie rzeczy:

• kierunek: dla $a > 1$ wykres rośnie, dla $0 < a < 1$ maleje;
• nachylenie: im podstawa dalsza od $1$, tym wykres bardziej płaski. Na prawo od $x = 1$ logarytm dziesiętny leży najniżej: żeby wzrósł o $1$, argument musi wzrosnąć dziesięciokrotnie, a przy $\log_2$ wystarczy go podwoić.

Wszystkie wykresy przecinają się w jednym punkcie $(1, 0)$, a każdy przechodzi dodatkowo przez $(a, 1)$ - np. $\log_2$ przez $(2, 1)$, $\ln$ przez $(e, 1)$, $\log$ przez $(10, 1)$:

Z wzoru na zamianę podstawy $\ln x = \dfrac{\log x}{\log e} \approx 2{,}303 \cdot \log x$ - wykres $\ln x$ to wykres $\log x$ rozciągnięty pionowo około $2{,}3$ raza. Tak samo jest z każdą parą podstaw: wykresy logarytmów różnią się tylko skalą w pionie.

Wykres logarytmu a wykres funkcji wykładniczej

Funkcja $\log_a x$ jest odwrotna do $a^x$, więc ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$. Punkt $(0, 1)$ wykresu wykładniczego przechodzi w $(1, 0)$, asymptota pozioma $y = 0$ - w pionową $x = 0$. Dlatego kto umie narysować wykres funkcji wykładniczej, ten od razu ma wykres logarytmu.

Przesunięcia wykresu funkcji logarytmicznej

Wykres $y = \log_a(x - p) + q$ powstaje z wykresu $y = \log_a x$ przez przesunięcie o wektor $[p, q]$ - o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie. Razem z wykresem przesuwa się asymptota, więc zmienia się też dziedzina.

Przykład. Narysuj wykres $f(x) = \log_2(x + 3) - 1$ i odczytaj jego własności.

Krok 1 - przesunięcie. $x + 3 = x - (-3)$, więc $p = -3$, $q = -1$: wykres $\log_2 x$ przesuwamy o $3$ w lewo i o $1$ w dół.

Krok 2 - asymptota i dziedzina. Asymptota przesuwa się do $x = -3$. Liczba logarytmowana musi być dodatnia: $x + 3 > 0$, czyli $D = (-3, +\infty)$.

Krok 3 - punkty charakterystyczne. Punkt $(1, 0)$ przechodzi w $(-2, -1)$. Miejsce zerowe: $\log_2(x + 3) = 1$, czyli $x + 3 = 2$, $x = -1$. Przecięcie z osią $OY$: $f(0) = \log_2 3 - 1 \approx 0{,}58$.

Odpowiedź: $D = (-3, +\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, miejsce zerowe $x = -1$, funkcja rosnąca, asymptota pionowa $x = -3$.

Przesunięcia wykresów dowolnych funkcji ćwiczy rozdział kursu przekształcenia wykresów, a sprawdzić je na żywo można w rysowniku funkcji.

Odbicia i wartość bezwzględna

• $y = -\log_a x$ - odbicie względem osi $OX$ (to jest wykres $\log_{1/a} x$).
• $y = \log_a(-x)$ - odbicie względem osi $OY$; dziedzina $(-\infty, 0)$.
• $y = \log_a |x|$ - dziedzina $\mathbb{R} \setminus \{0\}$; wykres składa się z dwóch gałęzi symetrycznych względem osi $OY$, miejsca zerowe $x = -1$ i $x = 1$.
• $y = |\log_a x|$ - część wykresu leżącą pod osią $OX$ (dla $a > 1$: przedział $(0, 1)$) odbijamy do góry; zbiór wartości $[0, +\infty)$.

Najczęstsze pytania

Czy wykres funkcji logarytmicznej przecina oś OY? Nie. Logarytm jest określony tylko dla $x > 0$, a oś $OY$ to prosta $x = 0$ - jest asymptotą pionową. Wykres zbliża się do niej dowolnie blisko, ale jej nie osiąga. Przesunięty wykres, np. $\log_2(x + 3)$, może już przeciąć oś $OY$, bo asymptota wtedy się przesuwa.

Przez jaki punkt przechodzi każdy wykres funkcji logarytmicznej? Przez $(1, 0)$, bo $\log_a 1 = 0$ dla każdej podstawy. Drugi łatwy punkt to $(a, 1)$.

Jak wygląda wykres logarytmu o podstawie mniejszej od 1? Jest malejący: przy osi $OY$ ucieka w górę, a na prawo od $x = 1$ schodzi pod oś $OX$. To lustrzane odbicie wykresu o podstawie $\tfrac{1}{a}$ względem osi $OX$.

Czym różni się wykres ln x od log x? Oba przechodzą przez $(1, 0)$ i mają asymptotę $x = 0$. Wykres $\ln x$ jest rozciągnięty pionowo około $2{,}3$ raza, więc dla $x > 1$ leży wyżej niż $\log x$, a dla $0 < x < 1$ - niżej.

Jak narysować wykres y = log₂(x − 2)? Przesuń wykres $\log_2 x$ o $2$ w prawo. Asymptotą jest prosta $x = 2$, dziedziną $(2, +\infty)$, a miejscem zerowym $x = 3$, bo $\log_2 1 = 0$.

Co to jest krzywa logarytmiczna? To potoczna nazwa wykresu funkcji $y = \log_a x$: krzywej, która rośnie (albo maleje) coraz wolniej i ma pionową asymptotę. Stąd też „skala logarytmiczna” na osiach wykresów.

Podsumowanie

• Wykres $y = \log_a x$ leży na prawo od osi $OY$, która jest jego asymptotą, i przechodzi przez $(1, 0)$ oraz $(a, 1)$.
• Do tabeli wartości wybieraj potęgi podstawy: $\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ dla $a = 2$.
• $a > 1$ - wykres rosnący; $0 < a < 1$ - malejący; $\log_{1/a} x = -\log_a x$.
• Wykres jest odbiciem wykresu $a^x$ względem prostej $y = x$.
• $y = \log_a(x - p) + q$: asymptota $x = p$, dziedzina $(p, +\infty)$.
• Ćwiczenia: zadania z logarytmów i funkcja logarytmiczna - zadania.