Twierdzenia Fermata

Q: Dlaczego dla n = 2 rozwiązań jest nieskończenie wiele, a dla n = 3 już żadnego?

Bo przy wykładniku 2 pełne kwadraty są na tyle gęste, że sumy trafiają w kolejne kwadraty. Przy wyższych wykładnikach potęgi rozrzedzają się gwałtownie - to intuicja, nie dowód; dowód wymaga zupełnie innych narzędzi.

Trzy twierdzenia noszące imię Fermata

Małe twierdzenie Fermata. Dla liczby pierwszej $p$ i dowolnej liczby całkowitej $a$ :

$a^p \equiv a \pmod p.$

Wielkie twierdzenie Fermata. Dla $n > 2$ równanie

$x^n + y^n = z^n$

nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych.

Twierdzenie Fermata o ekstremum. Jeśli funkcja różniczkowalna ma ekstremum lokalne w punkcie wewnętrznym $x_0$ , to $f'(x_0) = 0$ .

Pierre de Fermat (1601-1665) był z zawodu prawnikiem, radcą parlamentu w Tuluzie, a matematyką zajmował się po godzinach. Mimo to zostawił po sobie wyniki, które zajmowały zawodowych matematyków przez kolejne trzysta lat. Trzy z nich noszą dziś jego imię.

Małe twierdzenie Fermata

Dla dowolnej liczby całkowitej $n$ i liczby pierwszej $p$ liczba $n^p - n$ jest podzielna przez $p$ . Prostym wnioskiem jest, że gdy $p$ nie dzieli $n$ , to $p$ dzieli $n^{p-1} - 1$ , czyli

$n^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Fermat sformułował to twierdzenie w liście z 1640 roku, dowód pomijając; pierwszy opublikowany dowód podał Leonhard Euler w 1736 roku, a później uogólnił twierdzenie na dowolny moduł.

Twierdzenie jest fundamentem szyfrowania RSA i testów pierwszości. Pełny dowód indukcyjny, przykłady rachunkowe, liczby Carmichaela i mechanizm RSA opisuje osobna strona: małe twierdzenie Fermata.

Wielkie twierdzenie Fermata

Równanie

$x^n + y^n = z^n$

nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych dla żadnego wykładnika $n > 2$ .

Kontrast z przypadkiem $n = 2$ jest uderzający: równanie $x^2 + y^2 = z^2$ ma nieskończenie wiele rozwiązań - to trójki pitagorejskie w rodzaju $(3,4,5)$ czy $(5,12,13)$ , dające się wypisać jednym wzorem. Wystarczy podnieść wykładnik o jeden, by rozwiązania zniknęły całkowicie.

Przez ponad trzysta lat była to hipoteza, mimo tradycyjnej nazwy „twierdzenie”. W niektórych językach nazywa się ją ostatnim twierdzeniem Fermata - bo była ostatnim z jego zapisków, którego nie udało się rozstrzygnąć.

Dowód przypadku n = 4 - metoda nieskończonego schodzenia

Pokaż dowódUkryj dowód

To jedyny przypadek, który Fermat naprawdę udowodnił - i zrobił to własną metodą nieskończonego schodzenia: z każdego rozwiązania buduje się mniejsze, co jest niemożliwe, bo liczby naturalne nie maleją w nieskończoność.

Udowodnimy więcej, niż trzeba: że równanie $x^4 + y^4 = z^2$ nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych (przypadek $n = 4$ jest szczególnym przypadkiem, bo $z^4 = (z^2)^2$ ).

Krok 1. Wybieramy najmniejsze rozwiązanie. Przypuśćmy, że rozwiązania istnieją. Wśród nich wybieramy to o najmniejszym $z$ . Można założyć, że $x$ i $y$ są względnie pierwsze - wspólny dzielnik dałoby się skrócić, otrzymując mniejsze rozwiązanie.

Krok 2. Rozpoznajemy trójkę pitagorejską. Zapisujemy równanie jako

$(x^2)^2 + (y^2)^2 = z^2.$

To pierwotna trójka pitagorejska, więc (przy odpowiednim wyborze oznaczeń) istnieją względnie pierwsze liczby $m > n > 0$ różnej parzystości takie, że

$x^2 = m^2 - n^2, \qquad y^2 = 2mn, \qquad z = m^2 + n^2.$

Krok 3. Znajdujemy drugą trójkę. Pierwsza z równości daje

$x^2 + n^2 = m^2,$

czyli kolejną pierwotną trójkę pitagorejską. Zatem istnieją względnie pierwsze $a > b > 0$ takie, że

$x = a^2 - b^2, \qquad n = 2ab, \qquad m = a^2 + b^2.$

Krok 4. Korzystamy z drugiej równości. Podstawiamy do $y^2 = 2mn$ :

$y^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot 2ab = 4ab(a^2 + b^2) \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{y}{2}\right)^2 = ab(a^2+b^2).$

Krok 5. Rozbijamy iloczyn na kwadraty. Liczby $a$ , $b$ oraz $a^2 + b^2$ są parami względnie pierwsze, a ich iloczyn jest kwadratem - każda z nich musi więc sama być kwadratem:

$a = u^2, \qquad b = v^2, \qquad a^2 + b^2 = w^2.$

Krok 6. Otrzymujemy mniejsze rozwiązanie. Podstawiając:

$u^4 + v^4 = a^2 + b^2 = w^2,$

czyli nowe rozwiązanie równania $x^4 + y^4 = z^2$ . Przy tym

$w \leq w^2 = a^2 + b^2 = m \leq m^2 < m^2 + n^2 = z,$

więc nowe rozwiązanie jest istotnie mniejsze od wyjściowego.

Krok 7. Sprzeczność. Wybraliśmy rozwiązanie najmniejsze, a znaleźliśmy mniejsze. Takie schodzenie mogłoby trwać w nieskończoność, co jest niemożliwe wśród liczb naturalnych. Zatem rozwiązań nie ma. $\blacksquare$

Historia - 358 lat poszukiwań

1637 - notatka na marginesie. Fermat zapisał hipotezę na marginesie Arytmetyki Diofantosa, dodając słynne zdanie: „Znalazłem zaiste zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale margines jest zbyt wąski, by go pomieścić”. Notatkę znaleziono po jego śmierci. Dziś matematycy są zgodni, że Fermat nie mógł mieć poprawnego dowodu - prawdopodobnie sam zauważył lukę i przestał o tym pisać.

Kolejne wykładniki po kolei. Przez dwa stulecia rozstrzygano pojedyncze przypadki: $n = 4$ (sam Fermat), $n = 3$ (Euler, 1753), $n = 5$ (Dirichlet i Legendre, 1825), $n = 7$ (Lamé, 1839).

Kummer i narodziny algebry współczesnej. W XIX wieku Ernst Kummer pokazał, że wiele „dowodów” psuje się dlatego, iż w pierścieniach liczb algebraicznych rozkład na czynniki pierwsze nie musi być jednoznaczny. Żeby to naprawić, wprowadził liczby idealne - z których wyrosła cała teoria ideałów i współczesna algebra. Sam problem Fermata okazał się mniej ważny niż narzędzia, które powstały przy próbach jego rozwiązania.

Nagroda Wolfskehla (1908). Paul Wolfskehl zapisał $100$ tysięcy marek dla tego, kto rozstrzygnie hipotezę. Do akademii popłynęły tysiące błędnych „rozwiązań” od amatorów; inflacja po I wojnie światowej zdewaluowała nagrodę niemal do zera. Wypłacono ją ostatecznie w 1997 roku - w wysokości około $50$ tysięcy dolarów.

Faltings (1983). Gerd Faltings udowodnił hipotezę Mordella, z której wynikało, że dla każdego $n > 2$ równanie ma co najwyżej skończenie wiele rozwiązań. Do zera było jednak wciąż daleko.

Wiles (1993-1995). Andrew Wiles pracował w tajemnicy siedem lat. Nie atakował problemu wprost: udowodnił szczególny przypadek hipotezy Taniyamy-Shimury o krzywych eliptycznych, z której - jak wcześniej pokazali Frey, Serre i Ribet - wielkie twierdzenie Fermata wynika. Podczas recenzji wykryto lukę; Wiles usunął ją wraz z Richardem Taylorem, a poprawiony dowód ukazał się w 1995 roku. Ma około $130$ stron i korzysta z matematyki, która w czasach Fermata nie istniała.

Twierdzenie Fermata o ekstremum

Trzecie twierdzenie noszące to nazwisko należy do analizy matematycznej i brzmi:

Jeśli funkcja $f$ ma w punkcie wewnętrznym $x_0$ swojej dziedziny ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna, to $f'(x_0) = 0$ .

To warunek konieczny, ale nie wystarczający - i właśnie ta różnica jest źródłem najczęstszego błędu w zadaniach optymalizacyjnych. Funkcja $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$ , a ekstremum w zerze nie ma; z kolei $f(x) = |x|$ ma minimum w zerze, choć nie jest tam różniczkowalna.

Praktyczny wniosek: miejsca zerowe pochodnej to jedynie kandydaci na ekstremum - trzeba je jeszcze zbadać, np. sprawdzając zmianę znaku pochodnej.

Najczęstsze pytania

Czy Fermat naprawdę miał dowód wielkiego twierdzenia? Prawie na pewno nie. Wszystkie znane dowody wymagają matematyki z XX wieku, a sam Fermat nigdy później nie wracał do ogólnego przypadku - opublikował za to dowód dla $n = 4$ , co sugeruje, że zauważył lukę w swoim rozumowaniu.

Dlaczego dla $n = 2$ rozwiązań jest nieskończenie wiele, a dla $n = 3$ już żadnego? Bo przy wykładniku $2$ pełne kwadraty są na tyle gęste, że sumy trafiają w kolejne kwadraty. Przy wyższych wykładnikach potęgi rozrzedzają się gwałtownie - to intuicja, nie dowód; dowód wymaga zupełnie innych narzędzi.

Ile trwał dowód Wilesa? Siedem lat pracy w tajemnicy, plus rok na usunięcie luki wykrytej podczas recenzji. Sam artykuł liczy około $130$ stron.

Czy z wielkiego twierdzenia Fermata coś wynika? Bezpośrednich zastosowań nie ma - i to ciekawe: wartość tego problemu polegała na narzędziach, które powstały przy próbach jego rozwiązania (teoria ideałów, krzywe eliptyczne, formy modularne).

Czym różni się małe twierdzenie od wielkiego? Wszystkim poza nazwiskiem. Małe dotyczy reszt z dzielenia i ma prosty dowód indukcyjny; wielkie dotyczy rozwiązań równania w liczbach całkowitych i czekało na dowód $358$ lat.

Podsumowanie

Małe twierdzenie Fermata: $a^p \equiv a \pmod p$ dla $p$ pierwszej - podstawa RSA i testów pierwszości.
Wielkie twierdzenie Fermata: $x^n + y^n = z^n$ nie ma rozwiązań dla $n > 2$ ; hipoteza z 1637 roku, udowodniona przez Andrew Wilesa w 1995 roku.
Przypadek $n = 4$ udowodnił sam Fermat metodą nieskończonego schodzenia - z każdego rozwiązania konstruuje się mniejsze, co jest niemożliwe.
Próby rozwiązania problemu dały matematyce więcej niż sam wynik: liczby idealne Kummera, teoria ideałów, związek krzywych eliptycznych z formami modularnymi.
Twierdzenie Fermata o ekstremum: zerowanie pochodnej to warunek konieczny, nie wystarczający.