matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Ciąg geometryczny - wzory, iloraz, suma

Ciąg geometryczny - najważniejsze wzory

q=an+1an  (an≠0)an=a1⋅q n−1q = \frac{a_{n+1}}{a_n} \ \ (a_n \ne 0) \qquad a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

an2=an−1⋅an+1a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

Sn=a1⋅1−qn1−q  (q≠1)S=a11−q  (∣q∣<1)S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \ \ (q \ne 1) \qquad S = \frac{a_1}{1 - q} \ \ (|q| < 1)

Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu go poprzedzającego jest stały dla danego ciągu (oznaczamy go przez q).

np.    2, 4, 8, 16, 32, 64, 128
4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2    itd.
iloraz wynosi q = 2
Powyższy ciąg jest geometryczny

np.    2, 8, 11, 22, 25, 50
8 : 2 = 4
11 : 8 = 138\frac{3}{8}
22 : 11 = 2    itd.
iloraz nie istnieje
Powyższy ciąg nie jest geometryczny

Najważniejsze wzory:
an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} = qan ≠ 0
an = a1 · qn − 1wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Sn = a1 · 1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}q ≠ 1
wzór na sume n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
S = a1 · 11−q\frac{1}{1-q}|q| < 1
wzór na sume wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego

Przykłady:

Zad. 1
Czy ciąg an = n2 jest geometryczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy iloraz an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} jest stały (jest liczbą).

Utwórzymy ten iloraz:
an+1an=(n+1)2n2=n2+2n+1n2\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{n^2+2n+1}{n^2}korzystamy ze wzoru
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Iloraz nie jest stały, zależy od n, zmienia swoją wartość wraz ze zmianą n.
Ciąg an = n2 nie jest geometryczny.

Zad. 2
Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a1 = 2; q = 1,25; n = 4 znajdź: an; Sn.
Rozwiązanie:
Najpierw znajdujemy an (n-ty wyraz ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem an = a1 · qn−1.

an = a1 · qn−1
a4 = 2 · (1,25)4 − 1
a4 = 2 · (1,25)3 = 2 · (54)3\left(\frac{5}{4}\right)^3 =
= 2 · 12564\frac{125}{64} = 12532\frac{125}{32}
do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania

Teraz znajdujemy Sn (sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego).
W tym celu posłużymy się wzorem  Sn = a1 · 1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}

S4 = 2 · 1−(54)41−54\frac{1-\left(\frac{5}{4}\right)^4}{1-\frac{5}{4}} = 2 · 1−(54)4−14\frac{1-\left(\frac{5}{4}\right)^4}{-\frac{1}{4}} =
= 2 · (−4) · (1 − 5444\frac{5^4}{4^4}) =
= −8 · (1 − 625256\frac{625}{256}) =
= −8 · (256256\frac{256}{256} − 625256\frac{625}{256}) =
= −8 · 256−625256\frac{256-625}{256} =
= −−36932-\frac{369}{32} = 36932\frac{369}{32}
S4 = 36932\frac{369}{32}
do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania

Odp. a4 = 12532\frac{125}{32},   S4 = 36932\frac{369}{32}

https://matematyka.net/teoria/ciagi/ciag-geometryczny · matematyka.net