matematyka.net

Polski Portal Matematyczny

Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza, określona jest wzorem f(x)=ax. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Określona liczba a zwana podstawą funkcji wykładniczej jest liczbą dodatnią (a>0). Przeciwdziedzina (wartości funkcji) zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
Wartość podstawy funkcji wykładniczej można podzielić na trzy przedziały:

  1. 0<a<1 - funkcja jest malejąca.
  2. a=1 - funkcja jest stała.
  3. a>1 - funkcja jest rosnąca.

 

Wykres funkcji wykładniczej w zależności od liczby a

Charakterystycznym miejscem funkcji wykładniczej jest punkt przecięcia się funkcji z osię OY. Wartość funkcji w tym punkcie niezależnie od liczby a wynosi f(x)=1. Funkcja wykładnicza określona wzorem f(x)=ax nie ma miejsc zerowych, natomiast z teorii granic wiemy, że:

  • gdy a>1 to granicą funkcji w minus nieskończoności jest zero,
  • gdy 0<a<1 to granicą funkcji w nieskończoności jest zero.


    Wśród nieskończenie dużej ilości funkcji wykładniczych o różnych podstawach istnieje jedna bardzo ciekawa funkcja o podstawie e (liczba Nepera; e=2,718281828...), jest to funkcja f(x)=ex - nazywana funkcją eksponencjalną. Cóż ona ma takiego ciekawego, a no to, że pochodna tej funkcji jest nią samą (f'(x)=f(x)), a także styczna do funkcji w punkcie (0;1) jest nachylona do osi OX pod kątem 45o.

    Z definicji logarytmu wiemy, że:
    logax=y <=> ay=x.
    Wobec czego można dojść do wniosku, że funkcja logarytmiczna jest odwrotnością wykładniczej. Po narysowaniu na jednym wykresie funkcji wykładniczej f(x)=ax i logarytmicznej f(x)=logax widać, że osią symetrii jest prosta (funkcja liniowa) o równaniu f(x)=x.

    Funkcji wykładnicza i logarytmiczna w symetrii prostej f(x)=x

Dodaj komentarz


Kod antyspamowy
Odśwież