Wykres funkcji wykładniczej - jak go narysować, przesunięcia

Ta strona zajmuje się wykresem funkcji wykładniczej: jak go narysować, jak zmienia się z podstawą i jak go przesuwać. Definicję, własności i zastosowania krok po kroku omawia lekcja funkcja wykładnicza - definicja, własności i przykłady.

Jak narysować wykres funkcji wykładniczej - krok po kroku

Weźmy $f(x) = 3^x$ i policzmy kilka wartości dla całkowitych argumentów:

$f(-2) = \tfrac{1}{9}, \quad f(-1) = \tfrac{1}{3}, \quad f(0) = 1, \quad f(1) = 3, \quad f(2) = 9.$

1. Zaznacz asymptotę - oś $OX$ (prosta $y = 0$). Wykres zbliża się do niej, ale nigdy jej nie dotyka, bo $3^x > 0$ dla każdego $x$.
2. Nanieś punkty z tabeli. Punkt $(0, 1)$ jest wspólny dla wszystkich podstaw.
3. Połącz je gładką krzywą: po lewej wykres „kładzie się” na osi $OX$, po prawej rośnie coraz szybciej - każdy krok w prawo mnoży wartość przez $3$.

Dla podstawy $\tfrac{1}{3}$ wartości są te same, tylko w odwrotnej kolejności, bo $\left(\tfrac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$. Wykres jest więc lustrzanym odbiciem względem osi $OY$:

Wykres a podstawa

• Kierunek: dla $a > 1$ wykres rośnie, dla $0 < a < 1$ maleje, a dla $a = 1$ byłby prostą $y = 1$ - dlatego tego przypadku nie zalicza się do funkcji wykładniczych.
• Stromość: im podstawa dalsza od $1$, tym wykres bardziej stromy. Na prawo od osi $OY$ większa podstawa daje większe wartości, na lewo - mniejsze (szybciej opada do zera).
• Wykresy o różnych podstawach przecinają się tylko w punkcie $(0, 1)$.

Funkcja eksponencjalna eˣ

Wśród wszystkich podstaw wyróżnia się liczba $e \approx 2{,}718$ (liczba Eulera). Funkcję $f(x) = e^x$ nazywa się funkcją eksponencjalną i ma ona wyjątkową własność: jej pochodna jest nią samą, $\left(e^x\right)' = e^x$. W każdym punkcie nachylenie wykresu jest równe wartości funkcji - w szczególności styczna w punkcie $(0, 1)$ ma współczynnik kierunkowy $1$, czyli jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $45°$. Dlatego $e^x$ opisuje wszystkie procesy, w których tempo zmian jest proporcjonalne do aktualnej wielkości.

Przesunięcia wykresu funkcji wykładniczej

Wykres $y = a^{x - p} + q$ powstaje z wykresu $y = a^x$ przez przesunięcie o wektor $[p, q]$. Razem z wykresem przesuwa się asymptota pozioma, więc zmienia się zbiór wartości.

Przykład. Narysuj wykres $f(x) = 2^{x - 1} - 4$ i odczytaj jego własności.

Krok 1 - przesunięcie. $p = 1$, $q = -4$: wykres $2^x$ przesuwamy o $1$ w prawo i o $4$ w dół.

Krok 2 - asymptota i zbiór wartości. Asymptota przesuwa się do $y = -4$, a zbiór wartości do $(-4, +\infty)$. Dziedzina się nie zmienia: $\mathbb{R}$.

Krok 3 - punkty charakterystyczne. Punkt $(0, 1)$ przechodzi w $(1, -3)$. Miejsce zerowe: $2^{x - 1} = 4 = 2^2$, więc $x - 1 = 2$, $x = 3$. Przecięcie z osią $OY$: $f(0) = 2^{-1} - 4 = -3{,}5$.

Odpowiedź: $D = \mathbb{R}$, zbiór wartości $(-4, +\infty)$, miejsce zerowe $x = 3$, funkcja rosnąca, asymptota pozioma $y = -4$.

Przesunięcia wykresów dowolnych funkcji ćwiczy rozdział kursu przekształcenia wykresów, a sprawdzić je na żywo można w rysowniku funkcji.

Odbicia i wartość bezwzględna

• $y = -a^x$ - odbicie względem osi $OX$; wykres leży pod osią, zbiór wartości $(-\infty, 0)$.
• $y = a^{-x}$ - odbicie względem osi $OY$ (to jest wykres $\left(\tfrac{1}{a}\right)^x$).
• $y = a^{|x|}$ (dla $a > 1$) - prawa część wykresu $a^x$ i jej odbicie względem osi $OY$; minimum $1$ w punkcie $x = 0$, zbiór wartości $[1, +\infty)$.
• $y = |2^x - 2|$ - część wykresu $2^x - 2$ leżącą pod osią $OX$ (dla $x < 1$) odbijamy do góry; asymptotą po lewej jest wtedy prosta $y = 2$.

Wykres funkcji wykładniczej a logarytmicznej

Funkcja $a^x$ jest odwrotna do $\log_a x$, więc ich wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$: punkt $(0, 1)$ przechodzi w $(1, 0)$, a asymptota pozioma $y = 0$ w pionową $x = 0$. Więcej: wykres funkcji logarytmicznej.

Najczęstsze pytania

Czy wykres funkcji wykładniczej przecina oś OX? Nie. Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc $a^x > 0$, a oś $OX$ jest asymptotą. Przesunięty w dół wykres, np. $2^x - 4$, już ją przecina (tu w $x = 2$).

Przez jaki punkt przechodzi każdy wykres funkcji wykładniczej? Przez $(0, 1)$, bo $a^0 = 1$ dla każdej dodatniej podstawy. Drugi łatwy punkt to $(1, a)$.

Czym różni się wykres 2ˣ od x²?$x^2$ to parabola - symetryczna względem osi $OY$, z minimum $0$. $2^x$ nie jest symetryczny, nigdy nie osiąga zera i dla dużych $x$ rośnie nieporównanie szybciej: $2^{10} = 1024$, a $10^2 = 100$. Oba wykresy przecinają się w trzech punktach: $x = 2$, $x = 4$ i jednym ujemnym, $x \approx -0{,}77$.

Co to jest krzywa wykładnicza? Potoczna nazwa wykresu $y = a^x$ - krzywej, która po jednej stronie „przykleja się” do osi $OX$, a po drugiej rośnie coraz szybciej. Mówi się tak też o każdym procesie o stałym tempie procentowym („wzrost wykładniczy”).

Jak narysować wykres y = 2ˣ⁺¹ − 3? Przesuń wykres $2^x$ o $1$ w lewo i o $3$ w dół. Asymptotą jest prosta $y = -3$, zbiorem wartości $(-3, +\infty)$, a wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -1)$.

Podsumowanie

• Wykres $y = a^x$ leży nad osią $OX$, która jest jego asymptotą, i przechodzi przez $(0, 1)$ oraz $(1, a)$.
• $a > 1$ - wykres rosnący; $0 < a < 1$ - malejący; wykresy $a^x$ i $\left(\tfrac{1}{a}\right)^x$ są symetryczne względem osi $OY$.
• $y = a^{x - p} + q$: asymptota $y = q$, zbiór wartości $(q, +\infty)$.
• Wykres jest odbiciem wykresu $\log_a x$ względem prostej $y = x$.
• Działania na potęgach przypomina lekcja potęga o wykładniku rzeczywistym.
• Ćwiczenia: funkcja wykładnicza - zadania z rozwiązaniami.