Funkcja liniowa - wzory, wykres i miejsce zerowe

Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ - wyraz wolny. Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a wykresem - prosta.

Co oznaczają współczynniki a i b

• $a$ - współczynnik kierunkowy mówi, o ile zmienia się $y$, gdy $x$ rośnie o $1$. Jest równy tangensowi kąta $\alpha$, jaki wykres tworzy z dodatnią półosią $OX$: $a = \operatorname{tg}\alpha$. Dla $\alpha = 45^\circ$ mamy $a = 1$, a dla $\alpha = 60^\circ$ - $a = \sqrt{3}$.
• $b$ - wyraz wolny to wartość funkcji dla $x = 0$, czyli rzędna punktu, w którym wykres przecina oś $OY$: punkt $(0, b)$.

Im większa wartość bezwzględna $|a|$, tym bardziej stromy wykres. Dla $|a| < 1$ prosta jest nachylona do osi $OX$ łagodniej niż dla $|a| > 1$. Więcej: współczynnik kierunkowy.

Monotoniczność

Znak współczynnika kierunkowego przesądza o monotoniczności:

Funkcja stała $y = b$ też jest funkcją liniową - to przypadek $a = 0$.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x) = 0$. Rozwiązujemy równanie $ax + b = 0$:

$x_0 = -\frac{b}{a} \quad \text{dla } a \neq 0.$

Gdy $a = 0$, są dwa przypadki: dla $b \neq 0$ funkcja nie ma miejsc zerowych (wykres jest równoległy do osi $OX$ i jej nie przecina), a dla $b = 0$ funkcja $y = 0$ ma ich nieskończenie wiele - każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym. Więcej: wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej.

Wzór funkcji liniowej przez dwa punkty

Przez dwa punkty o różnych odciętych przechodzi dokładnie jedna prosta. Jej wzór wyznaczamy w dwóch krokach:

1. liczymy współczynnik kierunkowy $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$,
2. podstawiamy go i jeden z punktów do $y - y_1 = a(x - x_1)$ (albo do $y = ax + b$ i wyliczamy $b$).

Przykład. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A = (1, 3)$ i $B = (4, 9)$, oraz jej miejsce zerowe.

Współczynnik kierunkowy: $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$. Podstawiamy punkt $A$: $3 = 2 \cdot 1 + b$, więc $b = 1$. Wzór funkcji to $y = 2x + 1$.

Sprawdzenie dla punktu $B$: $2 \cdot 4 + 1 = 9$ - zgadza się. Miejsce zerowe: $x_0 = -\dfrac{1}{2}$.

Gdy $x_1 = x_2$, punkty leżą na prostej pionowej $x = x_1$. Taka prosta nie jest wykresem funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiadałoby wiele wartości.

Proste równoległe i prostopadłe

Dla prostych $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$:

• są równoległe, gdy $a_1 = a_2$ (ten sam kąt nachylenia),
• są prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$, czyli $a_2 = -\dfrac{1}{a_1}$.

Na przykład prosta prostopadła do $y = 2x + 1$ ma współczynnik $-\tfrac{1}{2}$, a równoległa - współczynnik $2$.

Postać kierunkowa a postać ogólna

Prostą można też zapisać w postaci ogólnej $Ax + By + C = 0$ (gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie zerami). Gdy $B \neq 0$, przechodzimy do postaci kierunkowej, wyliczając $y$:

$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}.$

Gdy $B = 0$, otrzymujemy prostą pionową $x = -\tfrac{C}{A}$, która nie jest wykresem funkcji. Postać ogólna przydaje się w geometrii analitycznej, np. we wzorze na odległość punktu od prostej.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór funkcji liniowej?$y = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ - wyraz wolny. To tzw. postać kierunkowa.

Jak obliczyć współczynnik a funkcji liniowej? Z dwóch punktów wykresu: $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, czyli przyrost wartości podzielony przez przyrost argumentu. Jeśli znasz kąt nachylenia prostej do osi $OX$, to $a = \operatorname{tg}\alpha$.

Jak obliczyć b w funkcji liniowej? Podstaw do wzoru $y = ax + b$ znane $a$ i współrzędne dowolnego punktu wykresu, a potem wylicz $b$. Jeśli znasz punkt przecięcia z osią $OY$, to $b$ jest jego rzędną.

Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej? Rozwiąż równanie $ax + b = 0$. Dla $a \neq 0$ wynik to $x_0 = -\tfrac{b}{a}$.

Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca? Gdy $a > 0$. Dla $a < 0$ jest malejąca, a dla $a = 0$ - stała.

Czy funkcja stała jest funkcją liniową? Tak. Funkcja $y = b$ to funkcja liniowa ze współczynnikiem $a = 0$.

Podsumowanie

Funkcja liniowa $y = ax + b$ ma wykres w postaci prostej. Współczynnik $a$ odpowiada za nachylenie i monotoniczność ($a = \operatorname{tg}\alpha$), a $b$ - za punkt przecięcia z osią $OY$. Miejsce zerowe to $x_0 = -\tfrac{b}{a}$, wzór prostej przez dwa punkty zaczyna się od $a = \tfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, a proste są równoległe przy równych współczynnikach i prostopadłe, gdy ich iloczyn wynosi $-1$.

Przećwicz na zadaniach z pełnymi rozwiązaniami: wzór z dwóch punktów, miejsce zerowe, monotoniczność, prosta równoległa, prosta prostopadła.