Funkcja homograficzna - wzór, wykres, asymptoty

Q: Czym różni się funkcja homograficzna od wymiernej?

Homograficzna to szczególny przypadek wymiernej: iloraz dwóch funkcji liniowych. Funkcja wymierna to iloraz dowolnych wielomianów, np. x² + 1/x - 3 jest wymierna, ale nie homograficzna.

Q: Dlaczego wyznacznik ad - bc musi być różny od zera?

Bo przy ad - bc = 0 licznik jest wielokrotnością mianownika i po skróceniu zostaje funkcja stała a/c - nie ma wtedy ani hiperboli, ani asymptot.

Q: Czy funkcja homograficzna jest rosnąca na całej dziedzinie?

Nie, nigdy. Jest rosnąca (albo malejąca) w każdym z dwóch przedziałów osobno, bo dziedzina jest rozspojona przez asymptotę pionową.

Q: Jak szybko znaleźć asymptoty?

Pionowa - z miejsca zerowego mianownika (x = -d/c). Pozioma - z ilorazu współczynników przy x (y = a/c). Na przykład dla 3x - 1/2x + 4 jest to x = -2 oraz y = 3/2.

Q: Czy funkcja homograficzna jest różnowartościowa?

Tak. Każdą wartość ze zbioru ZW przyjmuje dokładnie raz - dlatego ma funkcję odwrotną, która też jest homograficzna: f^-1(x) = -dx + b/cx - a.

Q: Czy funkcja f(x) = 1/x to funkcja homograficzna?

Tak, to jej najprostszy przypadek (a = 0, b = 1, c = 1, d = 0), znany też jako proporcjonalność odwrotna.

Funkcja homograficzna w skrócie

Wzór ogólny:

$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}, \qquad c \neq 0, \qquad ad - bc \neq 0.$

Postać kanoniczna (ta sama funkcja, przesunięta hiperbola):

$f(x) = \frac{A}{x - p} + q, \qquad A = \frac{bc - ad}{c^2}, \quad p = -\frac{d}{c}, \quad q = \frac{a}{c}.$

Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\tfrac{d}{c}\right\}$ . Zbiór wartości: $ZW = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{a}{c}\right\}$ .

Asymptoty: pionowa $x = -\tfrac{d}{c}$ , pozioma $y = \tfrac{a}{c}$ .

Wzór i kiedy to jest funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to iloraz dwóch funkcji liniowych:

$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}.$

Liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są ustalone, a dwa warunki muszą być spełnione:

Warunek 1: $c \neq 0$ . Gdyby $c$ było zerem, mianownik byłby stałą, a cała funkcja - zwykłą funkcją liniową $f(x) = \tfrac{a}{d}x + \tfrac{b}{d}$ .

Warunek 2: $ad - bc \neq 0$ . Wyrażenie $ad - bc$ nazywamy wyznacznikiem funkcji homograficznej. Gdyby było zerem, licznik i mianownik różniłyby się tylko stałym czynnikiem i po skróceniu zostałaby funkcja stała. Sprawdźmy to na przykładzie: dla $f(x) = \tfrac{2x + 4}{x + 2}$ mamy $ad - bc = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$ - i rzeczywiście $\tfrac{2(x+2)}{x+2} = 2$ dla każdego $x \neq -2$ . To nie jest funkcja homograficzna.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Wykres funkcji homograficznej - hiperbola

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina. Mianownik nie może się zerować, więc z liczb rzeczywistych wypada jeden punkt:

$cx + d = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{d}{c}, \qquad D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}.$

Zbiór wartości. Też brakuje dokładnie jednej liczby - tej, do której funkcja dąży, ale której nigdy nie osiąga:

$ZW = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{a}{c}\right\}.$

Skąd $\tfrac{a}{c}$ ? Gdyby $f(x) = \tfrac{a}{c}$ dla pewnego $x$ , to po przemnożeniu na krzyż dostalibyśmy $c(ax + b) = a(cx + d)$ , czyli $acx + bc = acx + ad$ , a stąd $bc = ad$ - wbrew założeniu $ad - bc \neq 0$ .

Asymptoty

Hiperbola ma dwie asymptoty i obie odczytuje się wprost ze współczynników:

Asymptota pionowa $x = -\tfrac{d}{c}$ - tam, gdzie zeruje się mianownik. Zbliżając się do tego punktu, wartości funkcji uciekają do $+\infty$ albo $-\infty$ .
Asymptota pozioma $y = \tfrac{a}{c}$ - do tej wartości funkcja dąży, gdy $x \to \pm\infty$ . Dla bardzo dużych $|x|$ wyrazy wolne $b$ i $d$ przestają mieć znaczenie i iloraz zachowuje się jak $\tfrac{ax}{cx} = \tfrac{a}{c}$ .

Postać kanoniczna - hiperbola przesunięta

Każdą funkcję homograficzną da się zapisać jako przesuniętą hiperbolę $y = \tfrac{A}{x}$ . Wyprowadzenie to jedno dzielenie z resztą:

$\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{\tfrac{a}{c}(cx + d) + b - \tfrac{ad}{c}}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cx + d)} = \frac{a}{c} + \frac{\tfrac{bc - ad}{c^2}}{x + \tfrac{d}{c}}.$

Otrzymujemy

$f(x) = \frac{A}{x - p} + q, \qquad A = \frac{bc - ad}{c^2}, \quad p = -\frac{d}{c}, \quad q = \frac{a}{c}.$

W tej postaci wszystko widać od razu: wykres to hiperbola $y = \tfrac{A}{x}$ przesunięta o wektor $[p, q]$ . Asymptoty przesuwają się razem z nią - stąd $x = p$ oraz $y = q$ . Więcej o samym przesuwaniu wykresów: przekształcenia wykresów.

Monotoniczność

Znak wyznacznika $\Delta = ad - bc$ rozstrzyga o kierunku:

$\Delta > 0$ - funkcja jest rosnąca w każdym z dwóch przedziałów dziedziny,
$\Delta < 0$ - funkcja jest malejąca w każdym z dwóch przedziałów dziedziny.

Bardzo ważne zastrzeżenie: funkcja homograficzna nigdy nie jest monotoniczna na całej dziedzinie. Dziedzina składa się z dwóch rozłącznych przedziałów, a monotoniczność dotyczy każdego z nich osobno. Zdanie „funkcja jest rosnąca” bez wskazania przedziału to najczęstszy błąd w zadaniach z tego tematu - wystarczy wziąć $f(x) = -\tfrac{1}{x}$ i porównać $f(-1) = 1$ z $f(1) = -1$ , żeby zobaczyć, że na całej dziedzinie funkcja rosnąca nie jest.

Środek symetrii

Hiperbola ma środek symetrii w punkcie przecięcia asymptot:

$S = \left(-\frac{d}{c}, \; \frac{a}{c}\right) = (p, q).$

Obrót wykresu o $180°$ wokół tego punktu przeprowadza hiperbolę na siebie. W postaci kanonicznej widać to od razu: funkcja $y = \tfrac{A}{x}$ jest nieparzysta, więc jest symetryczna względem początku układu, a przesunięcie przenosi środek symetrii do $(p, q)$ .

Wykres ma też dwie osie symetrii - proste o współczynnikach kierunkowych $1$ i $-1$ przechodzące przez punkt $S$ .

Miejsce zerowe i przecięcie z osią OY

Miejsce zerowe. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik:

$ax + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad x_0 = -\frac{b}{a} \qquad (\text{gdy } a \neq 0).$

Gdy $a = 0$ , funkcja ma postać $f(x) = \tfrac{b}{cx + d}$ i nie ma miejsca zerowego - licznik jest stałą różną od zera (gdyby $b$ też było zerem, wyznacznik $ad - bc$ byłby zerem).

Przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x = 0$ : $f(0) = \tfrac{b}{d}$ , o ile $d \neq 0$ .

Przykład krok po kroku

Zbadajmy funkcję

$f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}.$

Krok 1. Współczynniki i sprawdzenie warunków. $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 1$ , $d = -1$ . Mamy $c \neq 0$ oraz $\Delta = ad - bc = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -5 \neq 0$ , więc to faktycznie funkcja homograficzna.

Krok 2. Dziedzina. $x - 1 \neq 0$ , czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

Krok 3. Asymptoty. Pionowa: $x = -\tfrac{d}{c} = 1$ . Pozioma: $y = \tfrac{a}{c} = 2$ . Stąd $ZW = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .

Krok 4. Postać kanoniczna.

$A = \frac{bc - ad}{c^2} = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)}{1} = 5, \qquad p = 1, \qquad q = 2,$

czyli

$f(x) = \frac{5}{x - 1} + 2.$

Sprawdzenie dla $x = 2$ : z postaci kanonicznej $\tfrac{5}{1} + 2 = 7$ , ze wzoru wyjściowego $\tfrac{4 + 3}{1} = 7$ . Zgadza się.

Krok 5. Monotoniczność. $\Delta = -5 < 0$ , więc funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 1)$ i malejąca w przedziale $(1, +\infty)$ .

Krok 6. Miejsca charakterystyczne. Miejsce zerowe: $x_0 = -\tfrac{b}{a} = -\tfrac{3}{2}$ . Przecięcie z osią OY: $f(0) = \tfrac{3}{-1} = -3$ . Środek symetrii: $S = (1, 2)$ .

Krok 7. Szkic wykresu. Rysujemy asymptoty $x = 1$ i $y = 2$ , zaznaczamy punkty $\left(-\tfrac{3}{2}, 0\right)$ i $(0, -3)$ i prowadzimy dwie gałęzie hiperboli - jedną w lewym dolnym, drugą w prawym górnym obszarze wyznaczonym przez asymptoty.

Funkcja 1/x - najprostszy przypadek

Dla $a = 0$ , $b = 1$ , $c = 1$ , $d = 0$ dostajemy

$f(x) = \frac{1}{x}.$

To najprostsza funkcja homograficzna i zarazem wzór proporcjonalności odwrotnej: $D = ZW = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , asymptoty pokrywają się z osiami układu, środek symetrii leży w początku układu, a funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty, 0)$ i $(0, +\infty)$ .

Ogólniej $f(x) = \tfrac{k}{x}$ opisuje wielkości odwrotnie proporcjonalne: gdy jedna rośnie dwukrotnie, druga maleje dwukrotnie, a ich iloczyn pozostaje stały. Tak zachowuje się czas przejazdu w zależności od prędkości przy ustalonej drodze albo ciśnienie gazu w zależności od objętości w stałej temperaturze.

Najczęstsze pytania

Czym różni się funkcja homograficzna od wymiernej? Homograficzna to szczególny przypadek wymiernej: iloraz dwóch funkcji liniowych. Funkcja wymierna to iloraz dowolnych wielomianów, np. $\tfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ jest wymierna, ale nie homograficzna.

Dlaczego wyznacznik $ad - bc$ musi być różny od zera? Bo przy $ad - bc = 0$ licznik jest wielokrotnością mianownika i po skróceniu zostaje funkcja stała $\tfrac{a}{c}$ - nie ma wtedy ani hiperboli, ani asymptot.

Czy funkcja homograficzna jest rosnąca na całej dziedzinie? Nie, nigdy. Jest rosnąca (albo malejąca) w każdym z dwóch przedziałów osobno, bo dziedzina jest rozspojona przez asymptotę pionową.

Jak szybko znaleźć asymptoty? Pionowa - z miejsca zerowego mianownika ( $x = -\tfrac{d}{c}$ ). Pozioma - z ilorazu współczynników przy $x$ ( $y = \tfrac{a}{c}$ ). Na przykład dla $\tfrac{3x - 1}{2x + 4}$ jest to $x = -2$ oraz $y = \tfrac{3}{2}$ .

Czy funkcja homograficzna jest różnowartościowa? Tak. Każdą wartość ze zbioru $ZW$ przyjmuje dokładnie raz - dlatego ma funkcję odwrotną, która też jest homograficzna: $f^{-1}(x) = \tfrac{-dx + b}{cx - a}$ .

Czy funkcja $f(x) = \tfrac{1}{x}$ to funkcja homograficzna? Tak, to jej najprostszy przypadek ( $a = 0$ , $b = 1$ , $c = 1$ , $d = 0$ ), znany też jako proporcjonalność odwrotna.

Podsumowanie

Funkcja homograficzna to $f(x) = \tfrac{ax + b}{cx + d}$ przy $c \neq 0$ i $ad - bc \neq 0$ ; jej wykresem jest hiperbola.
Postać kanoniczna $f(x) = \tfrac{A}{x - p} + q$ pokazuje ją jako hiperbolę $y = \tfrac{A}{x}$ przesuniętą o wektor $[p, q]$ .
Asymptoty: pionowa $x = -\tfrac{d}{c}$ , pozioma $y = \tfrac{a}{c}$ ; ich przecięcie to środek symetrii wykresu.
Dziedzina i zbiór wartości to cała prosta bez jednego punktu - odpowiednio $-\tfrac{d}{c}$ i $\tfrac{a}{c}$ .
Znak wyznacznika $ad - bc$ decyduje o monotoniczności, ale w każdym przedziale osobno - nigdy na całej dziedzinie.
Miejsce zerowe: $x_0 = -\tfrac{b}{a}$ (gdy $a \neq 0$ ); przy $a = 0$ funkcja nie ma miejsca zerowego.