Funkcja kwadratowa - wzory: delta, wierzchołek, postacie

Funkcja kwadratowa (zwana trójmianem kwadratowym), jest to funkcja określona wzorem:

$f(x)=ax^2+bx+c$

gdzie współczynniki a, b i c są ustalonymi liczbami, przy czym $a\neq 0$ (gdy jest równe zero to mamy funkcję liniową).

Jest to postać ogólna funkcji kwadratowej. Jest to najczęstsza postać występująca w zadaniach matematycznych. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Natomiast dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. 

Funkcję kwadratową zawsze można sprowadzić do postaci kanonicznej, wyrażonej wzorem:

$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$.

W postaci kanonicznej jawnie podane mamy współrzędne wierzchołka paraboli W(p, q).

$p=\frac{-b}{2a},\ q=\frac{-b^{2}+4ac}{4a}$

Wyróżnik funkcji kwadratowej.

Liczbę $b^{2}-4ac$ oznaczamy znakiem $\Delta$ i nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej.

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

Jeżeli $\Delta\ge 0$, to funkcję kwadratową można zapisać w postaci iloczynowej, wyrażonej wzorem:

$f(x)=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$.

Miejsca zerowe (pierwiastki).

Od wartości wyróżnika funkcji kwadratowej $\Delta$ zależy ilość miejsc zerowych przez funkcję kwadratową. I tak jeśli:

$\Delta >0$ istnieją dwa miejsca zerowe:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta =0$ istnieje jedno podwójne miejsce zerowe:

$x_0=\frac{-b}{2a}$

$\Delta <0$ brak jest rzeczywistych miejsc zerowych.

Wzory Viete’a.

Jeśli liczby x₁, x₂ są dwoma pierwiastkami funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, to mają miejsce następujące wzory Viete’a:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}; x_1*x_2=\frac{c}{a}$.

Ekstremum i monotoniczność funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno ekstremum dla argumentu $x_0=\frac{-b}{2a}$, które wynosi $\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-\Delta}{4a}$.

W przypadku, gdy a>0 funkcja kwadratowa ma minimum absolutne, a wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(\frac{-b}{2a},\ \frac{-\Delta}{4a}\right)$, ramiona natomiast są skierowane do góry - funkcja jest malejąca w przedziale $\left(-\infty;\ \frac{-b}{2a}\right)$, rosnąca w przedziale $\left(\frac{-b}{2a};\ +\infty\right)$. Jeżeli natomiast a<0, to funkcja kwadratowa ma maksimum absolutne dla $x_0=\frac{-b}{2a}$, a wykres jest parabolą o wierzchołku w punkcie $\left(\frac{-b}{2a},\ \frac{-\Delta}{4a}\right)$ i ramionach skierowanych do dołu - funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty;\ \frac{-b}{2a}\right)$, malejąca w przedziale $\left(\frac{-b}{2a};\ +\infty\right)$. 

Dziedzina i zbiór wartości.

Dziedziną funkcji kwadratowej jest zawsze zbiór liczb rzeczywistych $f:\textbf{R}\to\textbf{R}$.

Funkcja kwadratowa nie jest ograniczona w zbiorze liczb rzeczywistych, ale w zależności od znaku współczynnika a (znak ten bywa nazywany znakiem funkcji kwadratowej) jest ograniczona z dołu (gdy a>0) albo ograniczona z góry (gdy a<0). W przypadku gdy $\Delta<0$, funkcja kwadratowa przyjmuje wartości stałego znaku zgodnie ze znakiem współczynnika a.

Wykres funkcji kwadratowej - parabola.

Od współczynnika a zależy w którą stronę skierowane są ramiona paraboli:

1. a>0 (dodatnie) - ramiona skierowane w górę, wierzchołek jest minimum funkcji.
2. a<0 (ujemne) - ramiona skierowane w dół, wierzchołek jest maksimum funkcji.

Wykresy funkcji kwadratowej w zależności od parametru a i wyróżnika Δ: