Arytmetyka - co to jest, działania i ich prawa

Q: Jak brzmi prawo łączności dodawania?

Dla dowolnych trzech liczb zachodzi (a + b) + c = a + (b + c) - wynik nie zależy od tego, które dodawanie wykonamy najpierw. Dzięki temu sumę kilku liczb można zapisać bez nawiasów.

Q: Jak nazywa się matematyk zajmujący się działaniami na liczbach?

Arytmetyk - specjalista od arytmetyki, czyli działań na liczbach. Dawniej osobę wykonującą zawodowo rachunki nazywano też rachmistrzem.

Q: Dlaczego nie wolno dzielić przez zero?

Bo a : 0 miałoby być taką liczbą x, że 0 · x = a. Dla a ≠ 0 takiej liczby nie ma (iloczyn z zerem zawsze daje zero), a dla a = 0 spełnia to każde x - wynik nie byłby jednoznaczny.

Prawa działań arytmetycznych

Przemienność:

$a + b = b + a, \qquad a \cdot b = b \cdot a.$

Łączność:

$(a + b) + c = a + (b + c), \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).$

Rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$

Elementy neutralne: $a + 0 = a$ oraz $a \cdot 1 = a$ .

Co to jest arytmetyka

Arytmetyka to dział matematyki zajmujący się liczbami i działaniami na nich - w pierwszej kolejności liczbami naturalnymi i ułamkami oraz prawami rządzącymi rachunkami. Nazwa pochodzi od greckiego arithmos - liczba.

Rozróżnia się dwie jej odmiany:

Arytmetyka praktyczna opisuje, jak zapisywać liczby (cyframi, kreskami ułamkowymi, przecinkami, nawiasami) i jak wykonywać na nich działania - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, a także potęgowanie i pierwiastkowanie. Nie zajmuje się natomiast ani rozwojem pojęcia liczby, ani jego definicją. To ona leży u podstaw nauczania matematyki i występuje we wszystkich programach szkolnych - w starych pod nazwą „rachunki”, w nowszych pod nazwą „arytmetyka”.

Arytmetyka teoretyczna zajmuje się definicją liczb i działań na nich. W odróżnieniu od geometrii, zaksjomatyzowanej już w starożytności, arytmetyka rozwijała się żywiołowo, bez teoretycznej podbudowy. Myśl jej zaksjomatyzowania pojawiła się dopiero pod koniec XIX wieku.

Nauka badająca własności pojedynczych liczb naturalnych - podzielność, liczby pierwsze, kongruencje - nosi osobną nazwę: teoria liczb.

Cztery działania arytmetyczne

Działanie arytmetyczne to działanie dwuargumentowe: dwóm liczbom przyporządkowuje trzecią. Każde ma własne nazwy argumentów i wyniku - i te nazwy pojawiają się w poleceniach zadań:

Dodawanie $a + b = c$ . Wynik to suma, a liczby dodawane to składniki. Szerzej: dodawanie.

Odejmowanie $a - b = c$ . Wynik to różnica, liczba $a$ to odjemna, a $b$ to odjemnik. Szerzej: odejmowanie.

Mnożenie $a \cdot b = c$ . Wynik to iloczyn, a mnożone liczby to czynniki. Szerzej: mnożenie.

Dzielenie $a : b = c$ . Wynik to iloraz, liczba $a$ to dzielna, a $b$ to dzielnik. Dzielnik nie może być zerem. Szerzej: dzielenie.

Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania ( $a - b$ to takie $x$ , że $b + x = a$ ), a dzielenie - odwrotnym do mnożenia ( $a : b$ to takie $x$ , że $b \cdot x = a$ ). Dlatego w istocie działań podstawowych są dwa, a pozostałe dwa z nich wynikają.

Prawa działań

Rachunki dają się upraszczać dzięki kilku prawom, które obowiązują dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Prawo przemienności - kolejność argumentów nie wpływa na wynik:

$a + b = b + a, \qquad a \cdot b = b \cdot a.$

Odejmowanie i dzielenie nie są przemienne: $5 - 3 \neq 3 - 5$ oraz $8 : 2 \neq 2 : 8$ .

Prawo łączności - przy trzech lub więcej argumentach nie ma znaczenia, które działanie wykonamy najpierw:

$(a + b) + c = a + (b + c), \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).$

Dzięki niemu możemy w ogóle pisać $2 + 3 + 7$ bez nawiasów. W praktyce pozwala grupować liczby wygodnie: $17 + 25 + 3 = (17 + 3) + 25 = 45$ . Odejmowanie i dzielenie nie są łączne - $(10 - 4) - 2 = 4$ , ale $10 - (4 - 2) = 8$ .

Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$

To ono stoi za wymnażaniem nawiasów i za wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias - czyli za całą algebrą szkolną, łącznie ze wzorami skróconego mnożenia.

Elementy neutralne. Zero jest elementem neutralnym dodawania ( $a + 0 = a$ ), a jedynka - mnożenia ( $a \cdot 1 = a$ ). Zero bywa nazywane modułem dodawania.

Elementy odwrotne. Do każdej liczby $a$ istnieje liczba przeciwna $-a$ (bo $a + (-a) = 0$ ), a do każdej liczby $a \neq 0$ - liczba odwrotna $\tfrac{1}{a}$ (bo $a \cdot \tfrac{1}{a} = 1$ ).

Kolejność wykonywania działań

Gdy w wyrażeniu jest kilka działań, wykonujemy je w ustalonej kolejności:

działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego),
potęgowanie i pierwiastkowanie,
mnożenie i dzielenie - od lewej do prawej,
dodawanie i odejmowanie - od lewej do prawej.

Zastrzeżenie „od lewej do prawej” jest istotne właśnie dlatego, że odejmowanie i dzielenie nie są łączne. W wyrażeniu $20 : 5 \cdot 2$ wynikiem jest $8$ , a nie $2$ .

Przykład. $12 - 2 \cdot (3 + 1)^2 : 8 = 12 - 2 \cdot 16 : 8 = 12 - 32 : 8 = 12 - 4 = 8$ .

Aksjomatyka - skąd wiemy, że to wszystko działa

Pierwszą aksjomatykę liczb naturalnych podał włoski matematyk Giuseppe Peano w 1889 roku. Opiera się ona na pojęciu następnika: jest liczba początkowa, każda liczba ma następnik, różne liczby mają różne następniki, a zasada indukcji pozwala dowodzić własności wszystkich liczb naturalnych naraz. Za pomocą liczb naturalnych zdefiniowano kolejno liczby całkowite, wymierne i rzeczywiste.

Niemiecki matematyk David Hilbert odwrócił tę kolejność: zaproponował aksjomatykę liczb rzeczywistych i na jej podstawie określił liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne. W nauczaniu szkolnym żadna z tych aksjomatyk nie występuje.

O granicach tego programu mówią twierdzenia Gödla o niezupełności: w każdym dostatecznie bogatym systemie aksjomatów arytmetyki istnieją zdania prawdziwe, których nie da się w nim udowodnić.

Najczęstsze pytania

Co to jest arytmetyka? Nauka o liczbach - dział matematyki o liczbach i działaniach na nich - dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu oraz prawach, którym te działania podlegają.

Czym różni się arytmetyka od algebry? Arytmetyka operuje konkretnymi liczbami, algebra - symbolami oznaczającymi dowolne liczby. Zapis $2 + 3 = 5$ należy do arytmetyki, a $a + b = b + a$ do algebry, choć mówi o tym samym.

Jak brzmi prawo łączności dodawania? Dla dowolnych trzech liczb zachodzi $(a + b) + c = a + (b + c)$ - wynik nie zależy od tego, które dodawanie wykonamy najpierw. Dzięki temu sumę kilku liczb można zapisać bez nawiasów.

Które działania są przemienne? Dodawanie i mnożenie. Odejmowanie i dzielenie nie są ani przemienne, ani łączne.

Jak nazywają się wyniki działań? Suma (dodawanie), różnica (odejmowanie), iloczyn (mnożenie), iloraz (dzielenie).

Jak nazywa się matematyk zajmujący się działaniami na liczbach?Arytmetyk - specjalista od arytmetyki, czyli działań na liczbach. Dawniej osobę wykonującą zawodowo rachunki nazywano też rachmistrzem.

Dlaczego nie wolno dzielić przez zero? Bo $a : 0$ miałoby być taką liczbą $x$ , że $0 \cdot x = a$ . Dla $a \neq 0$ takiej liczby nie ma (iloczyn z zerem zawsze daje zero), a dla $a = 0$ spełnia to każde $x$ - wynik nie byłby jednoznaczny.

Podsumowanie

Arytmetyka to dział matematyki o liczbach i czterech podstawowych działaniach; dzieli się na praktyczną (rachunki) i teoretyczną (definicje liczb i działań).
Nazwy wyników: suma, różnica, iloczyn, iloraz; nazwy argumentów: składniki, odjemna i odjemnik, czynniki, dzielna i dzielnik.
Dodawanie i mnożenie są przemienne i łączne; odejmowanie i dzielenie nie są ani jednym, ani drugim.
Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania - to podstawa całej algebry szkolnej.
Elementem neutralnym dodawania jest zero, mnożenia - jedynka.
Kolejność działań: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie - przy czym działania tego samego stopnia wykonujemy od lewej do prawej.