Odejmowanie - odjemna, odjemnik, różnica

Co to jest odejmowanie

Odejmowanie to działanie arytmetyczne dwuargumentowe, które dwóm liczbom $a$ i $b$ przyporządkowuje liczbę $c$ taką, że $b + c = a$. Mówimy, że od liczby $a$ odejmujemy liczbę $b$.

Nazwy argumentów i wyniku:

• $a$ - odjemna (liczba, od której odejmujemy),
• $b$ - odjemnik (liczba, którą odejmujemy),
• $c$ - różnica (wynik odejmowania).

W zapisie $12 - 5 = 7$ odjemną jest $12$, odjemnikiem $5$, a różnicą $7$.

Znak „$-$” (minus) wprowadził w 1489 roku niemiecki matematyk Johannes Widmann, w tej samej pracy co znak plus.

Odejmowanie jako działanie odwrotne do dodawania

Odjąć $b$ od $a$ to znaleźć takie $x$, że $a = b + x$. Dlatego każdy wynik odejmowania można sprawdzić dodawaniem: jeśli $12 - 5 = 7$, to musi zachodzić $5 + 7 = 12$.

Równoważnie odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej:

$a - b = a + (-b).$

To spojrzenie bywa wygodniejsze, bo pozwala przenieść na odejmowanie wszystko, co wiemy o dodawaniu - w szczególności swobodnie przestawiać wyrazy w długich wyrażeniach, o ile przenosimy je razem ze znakami.

Dlaczego odejmowanie nie jest przemienne ani łączne

Nie jest przemienne. Zamiana odjemnej z odjemnikiem zmienia wynik na przeciwny:

$5 - 3 = 2, \qquad 3 - 5 = -2, \qquad \text{ogólnie } a - b = -(b - a).$

Nie jest łączne. Grupowanie ma znaczenie:

$(10 - 4) - 2 = 6 - 2 = 4, \qquad 10 - (4 - 2) = 10 - 2 = 8.$

Dlatego w wyrażeniu bez nawiasów obowiązuje umowa: działania tego samego stopnia wykonujemy od lewej do prawej. Zapis $10 - 4 - 2$ znaczy $(10 - 4) - 2 = 4$.

Nie ma też elementu neutralnego obustronnego. Wprawdzie $a - 0 = a$, ale $0 - a = -a$, więc zero działa neutralnie tylko z prawej strony.

Rozdzielność mnożenia względem odejmowania

Dla dowolnych trzech liczb zachodzi:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$

Na przykład $7 \cdot (10 - 2) = 70 - 14 = 56$. To prawo pozwala mnożyć przez zaokrągloną liczbę i korygować wynik: $7 \cdot 98 = 7 \cdot (100 - 2) = 700 - 14 = 686$.

Odejmowanie liczb ujemnych

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby do niej przeciwnej:

$a - (-b) = a + b.$

Dwa minusy obok siebie dają plus: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Wynika to wprost z definicji liczby przeciwnej - liczbą przeciwną do $-b$ jest $b$.

Warto uważać na znaki przy nawiasach: $-(x - 3) = -x + 3$, bo minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku.

Odejmowanie wyprowadza poza zbiór liczb naturalnych: $3 - 5$ nie jest liczbą naturalną. To właśnie brak wyniku odejmowania wymusił historycznie rozszerzenie zbioru liczb o liczby ujemne - czyli przejście od $\mathbb{N}$ do $\mathbb{Z}$.

Odejmowanie pisemne

Algorytm odejmowania pisemnego, podobnie jak dodawania, opiera się na pozycyjnym systemie zapisu liczb: odejmujemy jedności od jedności, dziesiątki od dziesiątek, setki od setek.

Gdy w którymś rzędzie od mniejszej cyfry trzeba odjąć większą, pożyczamy jedną jednostkę z rzędu wyższego i zamieniamy ją na dziesięć jednostek rzędu niższego.

Przykład: $503 - 268$.

• Jedności: $3 - 8$ się nie da, pożyczamy z dziesiątek. Ale w dziesiątkach jest zero, więc pożyczka idzie z setek: $5$ setek zamieniamy na $4$ setki i $10$ dziesiątek.
• Teraz pożyczamy jedną dziesiątkę: zostaje $9$ dziesiątek, a jedności to $13 - 8 = 5$.
• Dziesiątki: $9 - 6 = 3$. Setki: $4 - 2 = 2$.
• Wynik: $235$. Sprawdzenie dodawaniem: $268 + 235 = 503$.

Sposoby na szybkie odejmowanie w pamięci

• Dopełnianie do okrągłej liczby. $52 - 37$: od $37$ do $40$ brakuje $3$, od $40$ do $52$ jest $12$, więc różnica wynosi $15$.
• Zaokrąglenie odjemnika i korekta. $84 - 29 = 84 - 30 + 1 = 55$.
• Dodanie tej samej liczby do obu wyrazów (różnica się nie zmienia): $73 - 48 = 75 - 50 = 25$.
• Rozbicie na rzędy. $86 - 34 = (80 - 30) + (6 - 4) = 50 + 2 = 52$.

Najczęstsze pytania

Jak nazywa się wynik odejmowania?Różnica. Liczba, od której odejmujemy, to odjemna, a liczba odejmowana - odjemnik.

Co to jest odjemna, a co odjemnik? W zapisie $a - b$ odjemną jest $a$ (stoi pierwsza), a odjemnikiem $b$ (ta, którą odejmujemy). Pomocna wskazówka: odjemna to ta, od której odejmujemy - „odjęto jej”.

Czy odejmowanie jest przemienne? Nie. $5 - 3 = 2$, ale $3 - 5 = -2$. Zamiana kolejności zmienia wynik na przeciwny.

Dlaczego dwa minusy dają plus? Bo $-(-b) = b$: liczbą przeciwną do liczby przeciwnej jest liczba wyjściowa. Stąd $a - (-b) = a + b$.

Jak sprawdzić wynik odejmowania? Dodawaniem: jeśli $a - b = c$, to musi zachodzić $b + c = a$.

Czy wynik odejmowania liczb naturalnych zawsze jest naturalny? Nie - $3 - 5 = -2$. Dlatego zbiór liczb naturalnych nie jest zamknięty na odejmowanie i trzeba było go rozszerzyć o liczby ujemne.

Podsumowanie

• Odejmowanie to działanie odwrotne do dodawania: $a - b$ to takie $c$, że $b + c = a$.
• Nazwy: $a$ - odjemna, $b$ - odjemnik, wynik - różnica.
• Równoważnie $a - b = a + (-b)$, czyli odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej.
• Odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne - stąd umowa o wykonywaniu działań od lewej do prawej.
• Mnożenie jest rozdzielne względem odejmowania: $a(b - c) = ab - ac$.
• Odejmowanie wyprowadza poza liczby naturalne, co historycznie wymusiło wprowadzenie liczb ujemnych.