matematyka.net

Twierdzenia.

Twierdzenie to zdanie udowodnione w danej teorii matematycznej. Każdy aksjomat teorii jest również jej twierdzeniem. Na ogół twierdzenia mają postać implikacji lub też implikacji poprzedzonej kwantyfikatorami ogólnymi. Poprzednik implikacji, która jest twierdzeniem nazywa się założeniem twierdzenia, a jej następnik - tezą twierdzenia. Zdanie wynikające w prosty sposób z twierdzenia lub będące jego szczególnym przypadkiem nazywa się wnioskiem z twierdzenia. Jeżeli implikacja (gdzie i są zdaniami lub funkcjami zdaniowymi) jest twierdzeniem to  nazywa się również warunkiem wystarczającym lub warunkiem dostatecznym na to, aby była spełniona własność wyrażona przez , a  nazywa się warunkiem koniecznym tego, by była spełniona własność wyrażona przez .

Terminu twierdzenie używa się też na określenie zdań fałszywych w formie: "następujące twierdzenie nie jest prawdziwe...".

Przykład: W twierdzeniu arytmetyki: "jeżeli liczba naturalna m jest podzielna przez sześć, to jest ona podzielna przez trzy", założeniem twierdzenia jest "m jest podzielna przez sześć", a tezą twierdzenia "m jest podzielna przez trzy". Warunkiem wystarczającym na to, aby liczba m była podzielna przez trzy jest jej podzielność przez sześć, natomiast warunkiem koniecznym podzielności liczby m przez sześć jest jej podzielność przez trzy.

Twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia.

Twierdzenie odwrotne do danego twierdzenia to twierdzenie T₁, którego założeniem jest teza danego twierdzenia T,tezą zaś założenie twierdzenia T. Niech będzie dane twierdzenie: ; twierdzenie odwrotne do tego twierdzenia jest zdaniem . Twierdzenie odwrotne do danego nie musi być zdaniem prawdziwym. Twierdzenie odwrotne jest równoważne twierdzeniu przeciwnemu.

Przykład 1: Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia: "w każdym prostokącie przekątne są równe" jest zdanie: "jeżeli przekątne czworokąta są równe, to jest on prostokątem", które jest zdaniem fałszywym (bo np. w trapezie równoramiennym przekątne też są równe).

Przykład 2: Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia: "jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zeru, to jedna z tych liczb jest równa zeru" jest zdanie: "jeżeli jedna z liczb rzeczywistych jest równa zeru, to ich iloczyn jest równy zeru", będące zdaniem prawdziwym.

Twierdzenie przeciwne do danego twierdzenia.

Twierdzenie przeciwne do danego twierdzenia to danie stwierdzające, że negacja założenia twierdzenia implikuje negację jego tezy. Twierdzeniem przeciwnym do twierdzenia  jest zdanie . Na mocy prawa transpozycji twierdzenie przeciwne jest równoważne twierdzeniu odwrotnemu i podobnie jak twierdzenie odwrotne, nie musi być prawdziwe.

Twierdzenie przeciwstawne do danego twierdzenia.

Twierdzenie przeciwstawne do danego twierdzenia to zdanie stwierdzające, że z negacji tezy twierdzenia wynikanegacja jego założenia. Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia  jest zdanie . Na mocy prawa transpozycji (inaczej: prawa kontrapozycji) twierdzenie przeciwstawne jest równoważne temu twierdzeniu.