matematyka.net

Twierdzenia Fermata.

Twierdzenia Fermata to twierdzenia noszące imię matematyka francuskiego P. de Fermata.

1) Małe twierdzenie Fermata: dla dowolnej liczby całkowitej n i liczby pierwszej p liczba n^p-n jest podzielna przez p. Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest, że jeśli p jest liczbą pierwszą nie będącą dzielnikiem n, to liczba n^p-1-1 jest podzielna przez p. Twierdzenie to sformułował Fermat w 1640 roku, a udowodnił w 1741 roku szwajcarski matematyk i fizyk L.Euler.

2) Wielkie twierdzenie Fermata: równanie xⁿ+yⁿ=zⁿ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych dla n>2; tradycyjnie było nazywane twierdzeniem, naprawdę było hipotezą, gdyż nie był znany jego dowód. W niektórych językach znane jest pod nazwą ostatniego twierdzenia Fermata. 

Formułując twierdzenie w 1637 roku, Fermat stwierdził, że znalazł dowód, notatka ta została odnaleziona po jego śmierci. Potrafiono rozstrzygnąć jedynie szczególne przypadki. Dla n=3 hipotezę wykazał Euler w 1753 roku, dla n=4 twierdzenie jest szczególnym przypadkiem pewnego prostego zadania (rozwiązanego przez samego Fermata jeszcze przed sformułowaniem wielkiego twierdzenia), dla n=5 problem rozstrzygnęli niezależnie od siebie w 1825 roku matematyk niemiecki P.G.Lejeune Dirichlet i matematyk francuski G.Lame.

Wielu matematykaów (i niematematyków) ogłaszało, że wykazali wielkie twierdzenie Fermata - ich rozumowania jednak zawsze okazywały się błędne. Pomyłki popełniali tu także i wybitni uczeni, w szczególności tej miary, co Euler, niemiecki matematyk i fizyk C.F.Gauss i matematyk francuski J.L. de Lagrange. Ogromna liczba "rozwiązań" pojawiła się po 1907 roku, kiedy to P.Wolfskehl ufundował nagrodę w wysokości 100 tys. matek niemieckich za rozstrzygnięcie problemu (po I wojnie światowej nagroda się zdewaluowała). W badaniach matematyki współczesnej wielkie twierdzenia Fermata nie było już problemem specjalnie ważnym dla rozwoju matematyki. Próby jego rozstrzygnięcia doprowadziły jednak do znacznego postępu rozmaitych działów matematyki - w szczególności badania matematyka niemieckiego E.E.Kummera w XIX wieku doprowadziły do istotnego rozwoju algebry. Tym niemniej osiągano współcześnie ważne rezultaty, powiązane w tym problemem, zwłaszcza dotyczące geometrii algebraicznej. Istotne rezultaty osiągali między innymi matematyk niemiecki G.Faltings (laureat medalu Fieldsa w 1986 roku) i matematyk angielski D.R.Heath-Brown. Ostatecznie pierwszy poprawny, dokładniej: zawierający niewielką lukę, dowód wielkiego twierdzenia Fermata podał w 1993 roku matematyk amerykański A.Wiles - lukę tę usunął w 1994 roku.

Twierdzeniem Fermata bywa czasami nazywane twierdzenie o warunku koniecznym na istnienie ekstremum lokalnego funkcji rzeczywistej różniczkowalnej.