matematyka.net

Proste i płaszczyzny.

Prosta to jedno z najważniejszych pojęć geometrii, pierwowzorem matematycznie rozumianej prostej są: linia, która w każdym swoim miejscu wygląda jak naprężona struna w stanie spoczynku, tor swobodnie spadającego przedmiotu, linia zgięcia kartki, promień śwatła, itp. W niektórych ujęciach geometrii prosta jest pojęciem pierwotnym. W innych ujęciach prostą traktuje się jako podzbiory płaszczyzny lub przestrzeni.

Płaszczyzna to jedno z najważniejszych pojęć geometrii, pierwowzorem matematycznie pojmowanej płaszczyzny jest powierzchnia rozłożonej na stole kartki papieru, powierzchnia tablicy, itp. Płaszczyznę traktuje się albo jako pojęcie pierwotne (wtedy jej własności podane są w odpowiednich aksjomatach), albo jako podzbiór przestrzeni.

Proste i płaszczyzny w przestrzeni

Proste w przestrzeni

Proste równoległe

Jeśli proste są równoległe, to zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Proste przecinające się

Proste przecinające się zawierają się w jednej płaszczyźnie i mają jeden punkt wspólny.

Proste skośne

Proste skośne nie są zawarte w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Płaszczyzny w przestrzeni

Płaszczyzny przecinające się

Jeżeli dwie płaszczyzny przecinają się, to ich wspólne punkty tworzą prostą, która nazywa się krawędzią przecięcia się płaszczyzn.

Płaszczyzny pokrywające się

α = π   α || π

Płaszczyzny pokrywające się są zaliczane do płaszczyzn równoległych.

Płaszczyzny równoległe

Płaszczyzny równoległe nie mają punktów wspólnych (lub pokrywają się).

Odległość dwóch płaszczyzn równoległych

d = |AB| AB⊥α   (AB⊥π) A∈α   B∈π

Odległość płaszczyzn równoległych jest to długość odcinka AB prostopadłego do tych płaszczyzn, o końcach A i B, które należą odpowiednio do tych płaszczyzn.

Położenie prostej i płaszczyzn

Prosta przecinająca płaszczyznę

P∈m   i   P∈π

Prosta przecinająca płaszczyznę ma z tą płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny.

Prosta równoległa do płaszczyzny

m ||π

Prosta równoległa do płaszczyzny nie ma z płaszczyzną żadnych punktów wspólnych lub zawiera się w tej płaszczyźnie.

Prosta zawierająca się w płaszczyźnie

m∈π	Prostą zawierającą się w płaszczyźnie zaliczamy do prostych równoległych do tej płaszczyzny.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

m⊥k,   m⊥l   oraz   m⊥π

Prosta m przecinająca płaszczyzne π w punkcie P jest prostopadła do płaszczyzny π, jeśli jest ona (m) prostopadła do każdej prostej zawartej w płaszczyźnie π i przechodzącej przez punkt P.

Rzut prostokątny

Rzut prostokątny punktu na płaszczyznę

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę α nazywamy punkt P', w którym prosta przechodząca przez punkt P i prostopadła do płaszczyzny α przecina tę płaszczyznę.

Rzut prostokątny figury na płaszczyznę

Rzutem prostokątnym figury na płaszczyznę α nazywamy zbiór rzutów prostokątnych wszystkich punktów tej figury na płaszczyznę α.

Rzut prostokątny prostej na płaszczyznę

	Rzutem prostokątnym prostej m na płaszczyznę π jest punkt P, gdy prosta jest prostopadła do tej płaszczyzny.
	Rzutem prostokątnym prostej m na płaszczyznę π jest prosta m', gdy prosta m nie jest prostopadła do tej płaszczyzny.

Kąt nachylenie prostej do płaszczyzny

α = PAP'

Kątem nachylenia prostej m do płaszczyzny π nazywamy kąt ostry α zawarty między prostą m i jej rzutem prostokątnym m' na tę płaszczyznę.

Kąt dwuścienny i kąt płaski (liniowy) kąta dwuściennego

α - kąt liniowy kąta dwuściennego

Kątem dwuściennym nazywamy każdą z dwóch części przestrzeni na jakie dzielą tę przestrzeń dwie półpłaszczyzny o współnej krawędzi wraz z tymi półpłaszczyznami.