Dzielenie - dzielna, dzielnik, iloraz

Dzielenie to działania arytmetyczne, działanie dwuargumentowe przyporządkowujące dwóm liczbom a, b, z których druga jest różna od zera, liczbę c taką, że b*c=a. Dzielenie jest działaniem pozwalającym znaleźć drugi czynnik, gdy dany jest iloczyn i jeden z czynników. Podzielić liczbę a przez liczbę b oznacza znaleźć taką liczbę x, że a=b*x. Wynik dzielenia nazywa się ilorazem. Liczbę a nazywa się dzielną, a liczbę b - dzielnikiem. Dzielenie liczby a przez b oznacza się a:b lub za pomocą kreski ułamkowej a/b. Oznaczenie dzielenia za pomocą dwóch kropek wprowadził w 1684r. niemiecki filozof i matematyk G.W.Leibniz. Mówi się, że dzielenie jest wykonalne (lub określone) w danym zbiorze U, jeśli iloraz dwóch dowolnych liczb ze zbioru U, z których druga jest różna od zera, także jest liczbą należącą do tego zbioru. W przeciwnym wypadku dzielenie jest niewykonalne w zbiorze U, np. dzielenie w zbiorze liczb całkowitych różnych od zera nie jest wykonalne, bo 15/6=2,5, a ta liczba nie jest liczbą całkowitą, dzielenie jest natomiast wykonalne w zbiorze liczb wymiernych różnych od zera.

Dlaczego nie wolno dzielić przez zero

Iloraz $a : 0$ musiałby być taką liczbą $x$, że $0 \cdot x = a$. Dla $a \neq 0$ takiej liczby nie ma, bo iloczyn z zerem zawsze daje zero. Dla $a = 0$ warunek spełnia z kolei każde$x$, więc wynik nie byłby jednoznaczny. W obu przypadkach działanie nie daje się określić - dlatego dzielenie przez zero pozostaje niewykonalne, a nie „równe nieskończoności”.

Dzielenie z resztą

Gdy dzielna nie dzieli się przez dzielnik bez reszty, dla liczb całkowitych $a$ i $b > 0$ istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych $q$ (iloraz) i $r$ (reszta) taka, że

$a = b \cdot q + r, \qquad 0 \leq r < b.$

Na przykład $17 = 5 \cdot 3 + 2$, czyli $17 : 5$ daje iloraz $3$ i resztę $2$. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika - gdyby była równa lub większa, iloraz dałoby się jeszcze powiększyć.