Funkcja analityczna

Funkcja analityczna.

Funkcja analityczna to funkcja, która może być przedstawiona w postaci szeregu potęgowego. Funkcja analityczna o argumentach i wartościach zespolonych noszą nazwę funkcji holomorficznych. Bardziej precyzyjnie, funkcja f określona w zbiorze D zawartym w zbiorze R wszystkich liczb rzeczywistych lub w zbiorze C wszystkich liczb zespolonych jest analityczna w punkcie $x_{0}\in D$ , gdy istnieje otoczenie punktu x₀, w którym f może być przedstawiona w postaci szeregu potęgowego f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+a_n(x-x₀)ⁿ+... dla x z tego otoczenia, gdzie a₀, a₁, a₂, ... są pewnymi liczbami rzeczywistymi, gdy f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, zespolonymi zaś, gdy f jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej. Suma występująca po prawej stronie jest rozumiana jako granica ciągu liczbowego f₁(x), f₂(x), ..., gdzie f_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+...+a_n(x-x₀)ⁿ dla naturalnych n. Wszystkie operacje algebraiczne, różniczkowanie i całkowanie zastosowane do funkcji analitycznej prowadzą do funkcji analitycznej. Spełniają one warunek jednoznaczności: dwie funkcje analityczne określone w zbiorze otwartym i spójnym D równe na podzbiorze mającym punkt skupienia są równe w całym obszarze. Funkcja analityczna może mieć tylko izolowane miejsca zerowe, w przeciwnym przypadku musi być identycznie równa zeru. Istnieją ważne twierdzenia o rozszerzaniu funkcji analitycznej. Funkcje analityczne mają pochodne dowolnego rzędu, ale nie jest to warunek równoważny analityczności. Istnieją funkcje klasy $C^{\infty}$ nie będące analitycznymi, np.

$h(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} \ dla \ x>0\\0 \ dla \ x\le 0\end{sases}$ .

Teoria funkcji analitycznej została rozwinięta w XIX wieku w szczególności dzięki pracom matematyka francuskiego A.L.Cauchy'ego oraz matematyków niemieckich G.F.B.Riemanna i K.Weierstrassa. Teoria ta wywodzi się z teorii liczb zespolonych i dziś stanowi główny dział teorii funkcji zmiennych zespolonych.