Diofantos
Diofantos (koniec III stulecia n.e.) Mnich grecki z XIV w. Maksymos Planudes umieścił w swojej antologii wiersz nagrobkowy, którego treścią jest zadanie algebraiczne. Można z niego obliczyć pewne mało ważne szczegóły biograficzne Diofantosa z Aleksandrii, Żadne inne dane z życia tego wyjątkowego w zasięgu kultury greckiej matematyka nie są znane. Żył, być może, w czwartym wieku n. e., choć pewne fakty przemawiają, iż działalność jego przypada na trzeci wiek.
Diofantos odszedł od tradycyjnych w matematyce greckiej problemów geometrycznych i zajmował się algebrą. Główne jego dzieło „Arytmetyka", z którego zachowało się sześć ksiąg z prawdopodobnie napisanych trzynastu, zawiera 189 równań wraz z rozwiązaniami. Są to w przeważającej mierze równania nieoznaczone, a więc mające na ogół wiele rozwiązań. Autora interesuje jednak tylko jedno — dodatnie i wymierne. Metod ogólnych nie stosował, sposób rozwiązania zmieniał od zadania do zadania. Wykazywał wiele pomysłowości w doborze współczynników równań, aby otrzymać żądane rozwiązanie wymierne i dodatnie. Oto przykład diofantoskiego równania wraz z rozwiązaniem. Należy znaleźć dwie takie liczby, których iloczyn zwiększony o każdą z nich jest sześcianem pewnej liczby. Jednej z szukanych liczb autor nadaje postać iloczynu pewnej liczby s przez sześcian liczby 2, tj. 8 s; drugą oznacza przez s2-1 i zauważa, że pierwszy warunek zadania będzie spełniony, jeżeli
8s(s2-1)+8s=(2s)3
Aby był spełniony drugi warunek, wyrażenie
8s(s2-1)+(s2-1)
również musi być sześcianem jakiejś liczby, którą Diofantos oznacza przez 2s-1. Dzięki takiemu doborowi liczb pierwsze równanie sprawdza się tożsamościowo, w drugim zaś, które jest trzeciego stopnia, znikają wyrazy w trzeciej potędze i natychmiast otrzymuje się rozwiązanie s = 14/13.
Wśród zadań diofantoskiego zbioru znajduje się szereg pełnych równań stopnia drugiego o jednej niewiadomej, ale autor nie podaje ogólnej metody rozwiązania; jest też jedno o postaci
x3+x=4x2+4
z rozwiązaniem x = 4; metody rozwiązania również nie znamy. Być może, że ogólne metody były treścią zaginionych ksiąg.
Rozwiązywane równania sprowadzane są do najprostszej postaci, za pomocą kroków, które dziś nazywamy przenoszeniem wyrazów, redukcją wyrazów podobnych i dzieleniem przez współczynnik przy niewiadomej. Dio-fantos biegle stosuje symbole algebraiczne. Odrębną literą oznacza niewiadomą. Współczynniki pisze za niewiadomą, dla wykładników potęg stosuje oznaczenia będące pierwszymi literami nazw odnośnych liczb w języku greckim; stosuje oznaczenia dla odwrotności niewiadomej i jej potęg. Znaków dodawania, mnożenia i dzielenia nie stosuje. Składniki sum pisze obok siebie; używa odrębnego znaku dla odejmowania. Ponieważ stosował tylko jeden symbol dla niewiadomej, przeto w zadaniach z wieloma niewiadomymi musiał odpowiednim postępowaniem wszystkie wyrażać przez jedną, wykazując i na tym polu wielką pomysłowość. Stosowane oznaczenia nie stanowią jeszcze współczesnej symboliki algebraicznej, ale można je traktować jako etap pośredni między tak zwaną algebrą retoryczną a symboliczną.
Przedmiot zainteresowań Diofantosa zaliczamy dziś do teorii równań nieoznaczonych. Pewne typy równań nazywamy dziś równaniami Diofantosa. Dzieło jego jednak w świecie starożytnym nie znalazło kontynuatorów. Czerpali z niego w średniowieczu Arabowie, znane było w Indii, lecz pełny, obfity plon wydało dopiero w XVII wieku.