matematyka.net

Szereg geometryczny

Ciąg nieskończony (S_n) o wyrazie ogólnym S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^n-1 nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego (a_n) lub szeregiem geometrycznym.

a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^n-1 + ... = ∑ n=1 ∞ a1 · qn-1

Ciąg sum częściowych (S_n) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę S (szereg geometryczny ma sumę S), wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 lub a₁ = 0 i wówczas:               S = lim n→∞ S n = a1 1-q ,   gdy |q| < 1 lub
S = 0,   gdy a₁ = 0

Ułamki okresowe
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Korzystając z własności ciągu geometrycznego można zamienić ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły.