Szereg geometryczny - suma S = a₁/(1−q) i ułamki okresowe

Ciąg nieskończony (S_n) o wyrazie ogólnym S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^n-1 nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego (a_n) lub szeregiem geometrycznym.

a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^n-1 + … $= \sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1}$

Ciąg sum częściowych (S_n) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę S (szereg geometryczny ma sumę S), wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 lub a₁ = 0 i wówczas: $S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n = \dfrac{a_1}{1-q}$, gdy $|q| < 1$, lub S = 0,   gdy a₁ = 0

Ułamki okresowe
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Korzystając z własności ciągu geometrycznego można zamienić ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły.

Przykład - ułamek okresowy. $0{,}(3) = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$ to szereg geometryczny o $a_1 = 0{,}3$ i $q = 0{,}1$, więc jego suma to $\dfrac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \dfrac{1}{3}$. Podobnie $0{,}(27) = \dfrac{0{,}27}{1 - 0{,}01} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$.