Granica ciągu - definicja, ciągi zbieżne i rozbieżne

Przedział (x₀ - ε, x₀ + ε) nazywamy otoczeniem o promieniu ε > 0 punktu x₀ i oznaczamy symbolem U(x₀, ε).

Sumę przedziałów (x₀ - ε, x₀) ∪ (x₀, x₀ + ε) nazywamy sąsiedztwem o promieniu ε > 0 punktu x₀ i oznaczamy symbolem S(x₀, ε).

Ciąg (a_n) jest zbieżny do g (ma granicę g), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba k ∈ N⁺, że dla każdego n > k jest spełniona nierówność |a_n - g| < ε.

Inaczej mówiąc liczba g jest granicą ciągu (a_n) wtedy, gdy dla każdego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia U(g, ε).
Zdanie “Liczba g jest granicą ciągu (a_n)” zapisujemy
$\lim_{n\to\infty} a_n = g \qquad \text{lub} \qquad a_n \xrightarrow{n\to\infty} g$

Powyższa definicja w zapisie logicznym ma postać:
$\lim_{n\to\infty} a_n = g \iff \forall_{\varepsilon>0}\ \exists_{k\in\mathbb{N}_+}\ \forall_{n>k}\ |a_n - g| < \varepsilon$

Granica niewłaściwa ciągu
Oprócz ciągów zbieżnych istnieją ciągi, które nie mają granicy. Takie ciągi nazywamy rozbieżnymi. Wśród ciągów rozbieżnych na szczególną uwagę zasługują ciągi rozbieżne do -∞ lub +∞.

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$. $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \iff \forall_{M\in\mathbb{R}}\ \exists_{k\in\mathbb{N}_+}\ \forall_{n>k}\ a_n > M$

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$. $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty \iff \forall_{M\in\mathbb{R}}\ \exists_{k\in\mathbb{N}_+}\ \forall_{n>k}\ a_n < M$