Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała - oznaczamy ją przez r i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
np. an = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 )
a2 - a1 = 2 - 1 = 1
a3 - a2 = 3 - 2 = 1
a4 - a3 = 4 - 3 = 1
itd.
różnica r = 1
Ten ciąg jest arytmetyczny.
np. an = ( 1, 2, 3, 4, 5, 7, 6 , 21, 15 )
a2 - a1 = 2 - 1 = 1
a3 - a2 = 3 - 2 = 1
a4 - a3 = 4 - 3 = 1
a5 - a4 = 5 - 4 = 1
a6 - a5 = 7 - 5 = 2
itd.
różnica nie jest stała
Ten ciąg nie jest arytmetyczny.
Ciąg arytmetyczny jednoznacznie wyznaczają jego pierwszy wyraz - a1 i różnica r
Najważniejsze wzory:
| an+1 − an = r | różnica między dowolnym wyrazem, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym |
an = a1 + (n − 1)  r |
wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego |
Sn =  n |
wzór na sumę n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego |
Sn =  n |
inaczej zapisany powyższy wzór: w miejsce an wstawiam an = a1 + (n − 1) |
Przykłady:
Zad. 1
Czy ciąg an = n jest arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy różnica an+1 - an jest stałą liczbą.
Utwórzymy te różnicę: an = n an+1 - an = n + 1 - n = 1 an+1 = n + 1
Różnica wynosi 1, czyli ciąg an = n jest arytmetyczny.
Zad. 2
Czy ciąg bn = n2 + 1 jest arytmetyczny?
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić, czy różnica bn+1 - bn jest stała.
Utwórzmy wyraz bn+1 bn+1 = (n + 1)2 + 1 wstawiamy n +1 w miejsce n we wzorze n2 + 1 Teraz tworzymy różnicę:
bn+1 - bn = (n + 1)2 + 1 - (n2 + 1) =
= (n + 1)2 + 1 - n2 - 1 =
= n2 + 2n + 1 +1 - n2 - 1 =
= 2n +1
redukujemy wyrazy podobne
Różnica nie jest liczbą stałą! Wyrażenie 2n +1 zależy od n, przyjmuje różne wartości w zależności od tego ile wynosi n.
Ciąg bn = n2 + 1 nie jest arytmetyczny.