Ciąg monotoniczny.
Ciąg monotoniczny to ciąg liczb rzeczywistych spełniający jeden z czterech warunków:
1. an+1>an, dla każdego n∈N - ciąg rosnący (ciąg silnie rosnący lub ściśle rosnący);
2. an+1<an, dla każdego n∈N - ciąg malejący (ciąg silnie malejący lub ściśle malejący);
3. an+1≥an, dla każdego n∈N - ciąg niemalejący (lub ciąg słabo rosnący);
4. an+1≤an, dla każdego n∈N - ciąg nierosnący (lub ciąg słabo malejący).
Ciąg spełniający warunek 1 lub 2 nazywa się też ciągiem silnie monotonicznym lub ściśle monotonicznym.
Ciąg Eulera.
Ciąg Eulera to ciąg o wyrazie ogólnym αn=n2-n+41.
Czterdzieści początkowych wyrazów tego ciągu to liczby pierwsze, liczba czterdziesta pierwsza jest liczbą złożoną.
Ciąg harmoniczny
Ciąg harmoniczny to ciąg odwrotności kolejnych liczb nauralnych
an = 1 n , gdzie n > 0
Początkowe wyrazy ciągu harmonicznego:
1, 12, 13, 14, 15, 16, ...
Ciąg harmoniczny jest malejący, ponieważ każdy jego wyraz jest mniejszy od poprzedniego: an+1 < an.
Ciąg harmoniczny jest zbieżny do zera, ponieważ wraz ze wzrostem n jego wyrazy są dowolnie blisko zera.
Granica ciągu
Przedział (x0 - ε, x0 + ε) nazywamy otoczaniem o promieniu ε > 0 punktu x0 i oznaczamy symbolem U(x0, ε).
Sumę przedziałów (x0 - ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) nazywamy sąsiedztwem o promieniu ε > 0 punktu x0 i oznaczamy symbolem S(x0, ε).
Ciąg (an) jest zbieżny do g (ma granicę g), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba k ∈ N+, że dla każdego n > k jest spełniona nierówność |an - g| < ε.
Inaczej mówiąc liczba g jest granicą ciągu (an) wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia U(g, ε).
Zdanie "Liczba g jest granicą ciągu (an)" zapisujemy
lim n→∞ a n = g lub a n → n→∞ g .
Powyższa definicja w zapisie logicznym ma postać:
lim n→∞ a n = g ⇔ ∀ ε>0 ∃ k∈N+ ∀ n>k | an - g | < ε
Granica niewłaściwa ciągu
Oprócz ciągów zbieżnych istnieją ciągi, które nie mają granicy. Takie ciągi nazywamy rozbieżnymi. Wśród ciągów rozbieżnych na sczególną uwagę zasługują ciąg rozbieżne do -∞ lub +∞.
Ciąg (an) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy lim n→∞ a n = +∞
lim n→∞ a n = +∞ ⇔ ∀ M∈R ∃ k∈N+ ∀ n>k an > M
Ciąg (an) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy lim n→∞ a n = -∞
lim n→∞ a n = -∞ ⇔ ∀ M∈R ∃ k∈N+ ∀ n>k an < M
Szereg geometryczny
Ciąg nieskończony (Sn) o wyrazie ogólnym Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn-1 nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego (an) lub szeregiem geometrycznym.
a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn-1 + ... = ∑ n=1 ∞ a1 · qn-1
Ciąg sum częściowych (Sn) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę S (szereg geometryczny ma sumę S), wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1 lub a1 = 0 i wówczas: S = lim n→∞ S n = a1 1-q , gdy |q| < 1 lub
S = 0, gdy a1 = 0
Ułamki okresowe
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Korzystając z własności ciągu geometrycznego można zamienić ułamek nieskończony okresowy na ułamek zwykły.