Liczby zespolone - wstęp

W rozwoju kultury ludzkiej jako pierwsze pojawiły się liczby naturalne. Potrzeba dokonywania pomiarów spowodowała zjawienie się liczb wymiernych, a następnie liczb niewymiernych. Liczbami wymiernymi posługiwano się już w Egipcie w XVII w. p.n.e., a w IV w. p.n.e. Grecy odkryli liczby niewymierne i operowali nimi geometrycznie. Mimo znajomości takich liczb, jak np. pierwiastek z dwóch, nie znali Grecy liczb ujemnych ani nawet zera. Zero zostało wprowadzone do matematyki przez Hindusów. W Europie zaczęto używać zera i liczb ujemnych dopiero w XVI w.

Liczby wymierne i niewymierne tworzą razem liczby rzeczywiste. Początkowo operowano tymi liczbami bez ścisłego uzasadnienia praw nimi rządzących. Szczegółową teorię liczb rzeczywistych stworzyli dopiero w XIX w. G.Cantor i J.W.R.Dedekind.

Liczby zespolone wprowadzono w XVI w. Początkowo operowano nimi - podobnie jak liczbami rzeczywistymi - bez uzasadnienia praw nimi rządzących. Liczby zespolone pojawiły się w związku z badaniami sposobów rozwiązań równań algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia. Otrzymano mianowicie wzory wyrażające pierwiastki równań tych stopni za pomocą pierwiastków kwadratowych i trzeciego stopnia na współczynnikach równań. Okazało się, że można rozwiązać tymi wzorami równanie trzeciego stopnia, mając trzy różne pierwiastki rzeczywiste, tylko wtedy, gdy umie się obliczać pierwiastek z (-1). Oczywiście, w zakresie liczb do tego okresu znanych, pierwiastek kwadratowy z (-1) nie istniał. Niemniej, niektórzy z matematyków założyli jego istnienie i nazwali go "liczbą urojoną", a poprzednio znane liczby nazwali właśnie liczbami "rzeczywistymi". Oznaczając pierwiastek z (-1) przez i, a zatem przyjmując, że i^2=-1, utworzono nowe "liczby" a+bi, które nazwano "liczbami zespolonymi" i określono czysto formalne cztery działania arytmetyczne na tych "liczbach". Arytmetyka liczb zespolonych nie doprowadziła do żadnych sprzeczności. L.Euler wprowadził je do analizy matematycznej, powodując tym jej istotny postęp. Okazało się wówczas, że liczby zespolone, mimo że brak im jeszcze było uzasadnienia logicznego, są wyraźnym narzędziem matematycznym dla badania i opisu wielu zjawisk fizycznych.

Początek wieku XIX przyniósł ścisłe uzasadnienie istnienia liczb zespolonych. Szczegółową teorię liczb zespolonych stworzyli C.F.Gauss i W.R.Hamilton. Pierwszy zinterpretował liczby zespolone jako punkty płaszczyzny, w której wprowadzono pewne działania, zwane dodawaniem i mnożeniem punktów, czyli liczb zespolonych. Drugi wprowadził liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych i określił w pewien sposób mnożenie i dodawanie tych par. Oba uzasadnienia są równoważne, bowiem punkt płaszczyzny jest wyznaczony przez parę liczb rzeczywistych (współrzędnych).

Obecnie liczby zespolone na równi z liczbami rzeczywistymi, które można traktować jako liczby zespolone szczególnego rodzaju, są niezbędnym narzędziem matematyka, fizyka i inżyniera w jego codziennej pracy.